[N] An introduction to primitive roots.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

PREMESSE: siano g, n € Z, con n > 1. Diremo che g è una radice primitiva mod n sse: ordg(n) = phi(n), ove phi(·) è la funzione omonima di Eulero ed ordg(n) denota l\'ordine moltiplicativo di n alla base g, ovvero il più piccolo intero m > 0, là dove esista, tale che: gm = 1 mod n.
 
 ---
 
 Problema 1: si dimostri che, se g € Z è una radice primitiva mod n, essendo n un intero > 1, l\'insieme G := {x € Z: x = gk mod n, per k = 0, 1, ..., phi(n) - 1} eguaglia l\'insieme T dei totativi(1) di n, ove a mod b denota il resto della divisione intera di a per b, per ogni a, b € Z tali che b sia diverso da 0.
 
 Problema 2: si provi che, se n è un intero > 1 e g € Z una radice primitiva mod n, allora gk è essa stessa una radice primitiva mod n, per ogni k = 1, 2, ..., n-1 tale che: gcd(k, phi(n)) = 1.
 
 Problema 3: si mostri che, se g € Z è una radice primitiva mod n, per qualche n intero > 1, allora n possiede esattamente phi(phi(n)) radici primitive fra gli interi dell\'insieme {1, 2, ..., n-1}.
 
 Problema 4: si esibisca un proof del teorema di Wilson(2) che utilizzi la teoria delle radici primitive(3).
 
 (1): per ogni n intero > 0, si dicono totativi di n tutti gli interi positivi k <= n tali che: gcd(n, k) = 1. Di qui il nome di \"totiente\" comunemente attribuito all\'indicatore phi(·) di Eulero.
 
 (2): ad uso e consumo di quanti non dovessero conoscerne l\'enunciato, il teorema di Wilson stabilisce che, se p è un numero primo naturale, allora:
 p | (p-1)! + 1. Per la cronaca, ricordo che, quantomeno definitivamente, il teorema è pure invertibile, costituendo così una caratterizzazione dei primi in N.
 
 (3): questo risultato mi è venuto in mente una mattina di luglio mentre mi spazzolavo i denti!!! Per quanto sia banale, è pur sempre carino... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 EDIT: corretta la traccia del problema n° 1.
 
 
 \"Sempre camminerò per queste spiagge tra la sabbia e la schiuma dell\'onda.
 L\'alta marea cancellerà l\'impronta e il vento svanirà la schiuma.
 Ma sempre spiaggia e mare resteranno.\" - Kahlil Gibran [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 20-11-2004 21:16 ]

Sisifo · Messaggio da **Sisifo** » 01 gen 1970, 01:33

Problema 1
 Non vorrei dire una stupidaggine <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ma...
 Poichè g è radice primitiva tutti i numeri sono distinti, quindi la cardinalità dell\'insieme phi(n). Ma per mla definizione stessa di phi i numeri <=n primi
 con n sono proprio phi(n). Quindi poicè i due insiemi hanno la stessa cardinalità, deve esistere una funzione biunivoca.CVD
 Problema 2
 Se a=g^k con (k,phi(n))=1 e a^j=1 mod n
 a^j=(g^k)^j=g^(jk) mod n e quindi phi(n) divide jk a poichè (k,phi(n))=1, phi(n) divide j, quindi riassumendo se (g^k)^j=1 mod n allora phi(n) divide j, cioè g^k è radice primitiva.
 
 PS Ma come fai a mettere gli apici e i pedici? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [addsig]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Così com\'è formulato, il problema n° 1 è veramente banale, ci hai proprio ragione tu, Sisifo! Un attimo solo, ché je dò \'na sistemata, va\'...
 
 Le tue soluzioni sono entrambe ineccepibili, in ogni caso!!! Chiedo scusa per l\'imbarazzante disattenzione e provvedo subitissimo a rimediarle...
 
 P.S.: in quanto ad apici e pedici, prova a usare i tag HTML <_sup>\"esponente\"<_/sup> e <_sub>\"deponente\"<_/sub>, rimossi gli underscore all\'interno delle parentesi angolari.
 
 
 \"Vorrei sedermi vicino a te in silenzio,
 ma non ne ho il coraggio: temo che
 il mio cuore mi salga alle labbra.
 Ecco perche\' parlo stupidamente e nascondo
 il mio cuore dietro le parole.
 Tratto crudelmente il mio dolore per paura
 che tu faccia lo stesso.\"
 
 - Rabindranath Tagore

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-19 21:44, HiTLeuLeR wrote:
 
 Problema 4: si esibisca un proof del teorema di Wilson(2) che utilizzi la teoria delle radici primitive(3).
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 sia k una radice primitiva, o generatore, mod p
 ==> (p-1)!==kSum i ==k p(p-1)/2 ==-1 in quanto p(p-1)/2 è un multiplo dispari di (p-1)/2

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Problema 1: si dimostri che, se g € Z è una radice primitiva mod n, essendo n un intero > 1, l\'insieme G := {x € Z: x = gk mod n, per k = 0, 1, ..., phi(n) - 1} eguaglia l\'insieme T dei totativi(1) di n, ove a mod b denota il resto della divisione intera di a per b, per ogni a, b € Z tali che b sia diverso da 0.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Poichè g è una radice primitiva modulo n avremo che il primo intero k tale che gk sia congruo a 1 mod n è phi(n). Quindi tutti i numeri gk con k < phi(n) hanno tutte congruenze diverse modulo n (e il numero di queste congruenze è, ovviamente, phi(n) poichè contiamo lo 0) poichè se esitessero due numeri distinti di tale forma con la stessa congruenza modulo n, prendiamo gj e gi allora tutti i numeri della forma gj+w gi+w, con w variabile negli interi non negativi, avrebbero la stessa congruenza moduolo n e, quando il maggiore di essi arriverà ad essere gphi(n) il minore diventerebbe un ordine modulo n minore di phi(n), ciò è evidentemente assurdo poichè g è radice primitiva modulo n. Quindi si hanno phi(n) congruenze distinte e la tesi è dimostrata.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 21-11-2004 10:32 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 21-11-2004 10:33 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

@Biagio: ok!!! Soltanto che non posso fare a meno di chiedermi perché tu non abbia speso neppure una parola per il caso singolare p = 2...
 
 @Boll: amen!
 
 P.S.: una volta risolto il quesito n° 3, proporrò un\'altra serie di problemi, che ho già confenzionato qualche tempo addietro e che conservavo per le occasioni speciali... I problemi, appunto, riguarderanno alcune interessanti proprietà dell\'ordine moltiplicativo, indispensabili nel proof dell\'esistenza di una radice primitiva mod p, per ogni primo intero p > 2. A presto, dunque...
 
 
 \"Muore la parola
 appena è pronunciata:
 così qualcuno dice.
 Io invece dico
 che comincia a vivere
 proprio in quello stesso istante.\"
 
 - Emily Dickinson

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Problema 3: si mostri che, se g € Z è una radice primitiva mod n, per qualche n intero > 1, allora n possiede esattamente phi(phi(n)) radici primitive fra gli interi dell\'insieme {1, 2, ..., n-1}.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Gli interi dell\'insieme citato formano tutte le possibili congruenze modulo n, tolto lo 0, ma ovvimante in tale caso non si ammettono generatori. Dimostriamo dunque che fra tutte le possibli congruenze modulo n, se n ammette un generatore, allora ne ammette phi(phi(n)).
 Se una congruenza non è coprima alla base, non ammette generatore, perchè ricordiamo che, se n è composto, allora ammettono ordine solo i numeri coprimi a n.
 Analizziamo quindi tutte le congruenze coprime a n.
 Prendiamo questa famigerata g, che è radice primitiva e consideriamo i numeri della forma gk con 0< k< =phi(n), questi formano phi(n) congruenze diverse (come dimostrato nel problema 1) e, in particolare, tutte le possibili congruenze coprime a n. Ora, fra queste congruenze, se k e phi(n) sono coprimi avremo che gk è generatore modulo n, poichè perchè l\'ordine divida la phi, essendo k coprimo, dobbiamo moltiplicarlo per phi stesso. Se invece phi e k hanno un divisore comune, gk ammette ordine (phi(n))/k. Quindi vi sono phi(phi(n)) generatori fra tutte le congruenze possibili modulo n. q.e.d.
 
 EDIT: Riveduto e corretto
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 22-11-2004 20:09 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 23-11-2004 14:13 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Aspettate...ho provato il 2...scrivo lo stesso per prenderci la mano
 Hp: gphi(n)=1 mod n
 Th: gk*phi(n)=1 mod n
 e phi(n) è il minimo numero per entrambe le proprietà. k minore di n
 
 Se per assurdo la tesi fosse falsa, esistono t ed m naturali tali che tm=phi(n) e:
 gk*phi(n)/m=1 mod (n)
 ora se gcd(phi(n),k)=1 anche gcd(m,k)=1 e quindi m nn divide k. Inoltre phi(n) nn divide k e quindi in definitiva phi(n) nn divide k*phi(n)/m...
 questo però è un assurdo, infatti, se g è un generatore e
 gs=1 mod n
 dividendo s per phi(n) con la divisione euclidea
 gm*phi(n)+e=1
 con e minore di phi(n), ma così si capisce che deve essere e=0, altrimenti phi(n) nn sarebbe l\'ordine moltiplicativo di g rispetto ad n...
 Questa condizione nn viene però rispettata dal numero trovato sopra e quindi assurdo... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 22-11-2004 21:40 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-22 20:07, Boll wrote:
 Gli interi dell\'insieme citato formano tutte le possibili congruenze modulo n, dimostriamo dunque che fra tutte le possibli congruenze modulo n, se n ammette un generatore, allora ne ammette phi(phi(n)).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non esattamente, visto che ci manca lo zero!!! Piuttosto, è {0, 1, ..., n-1} a formare un insieme completo di residui modulo n. Ti trovi? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-22 20:07, Boll added:
 Prendiamo questa famigerata g, che è radice primitiva e consideriamo i numeri della forma gk con 0 < k <= phi(n), questi formano phi(n) congruenze diverse (come dimostrato nel problema 1) e, in particolare, tutte le possibili congruenze coprime a n (se un numero è congruo a qualcosa non coprimo a n, tale numero non può essere radice primitiva, poichè ogni sua potenza perfetta sarà congruo a k+w, dove k è il divisore comune e q un intero non negativo).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ora, a parte le tue discutibili e confuse notazioni, dico io... in nome di Hilbert e Dedekind, costerebbe poi così tanto essere un po\' più chiari nell\'uso-abuso della lingua italiana? Ok, sarò pure un po\' bacchettone e poco flessibile nel mio modo di scrivere, d\'accordo... ma almeno mi sforzo di esprimermi compiutamente!!! In ogni caso, se ho ben inteso il senso di quel che affermi (e credimi, al di là dell\'esito, ci ho messo grande impegno), allora il testo \"quotato\" in corsivo si dovrebbe poter interpretare, più o meno, come di seguito:
 
 \"se gk fosse congruo ad un qualche tk nell\'insieme {0, 1, 2, ..., n-1} tale che: gcd(n, tk) > 1, per k fissato fra gli interi 1, 2, ..., phi(n), allora si avrebbe:
 gmk = tk + qm mod n, per ogni m € N, ove qm è un intero non-negativo; onde dedurne, in particolare, che: gk · phi(n) = tk + qphi(n) mod n.\"
 
 Bene, premesso che non ho alcuna intenzione di prendermi la briga di verificare un simile asserto, ed anzi invito TE a esibirne un proof, se davvero sei convinto della sua validità (...), vi è poi da aggiungere che - pure ammettendone (per un attimo) la consistenza - non mi è del tutto esplicita la conclusione cui vorresti pervenire. In altre parole... dove sta la contraddizione?!? Se ho ben compreso, tu vorresti dedurre che, supponendo per assurdo gcd(n, tk) > 1, si avrebbe a concludere che: gk · phi(n) = tk + qphi(n) =\\= 1 mod n. Ci ho preso? Se è così, beh... non ti dispiace, vero, se ti chiedo di dimostrarmelo, uh? Ok, grazie... In alternativa, là dove non ci dovessi riuscire, ti faccio presente che la tesi che affannosamente hai tentato di dimostrare, con tutti i tuoi spropositati arzigogoli, in vero è parte integrante del problema n° 1, che in effetti solo parzialmente - e prima non me n\'ero reso conto - tu stesso avresti risolto giusto qualche dozzina di righe sopra!!! Cosa dire? Boooooooooh... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-22 20:07, Boll continued:
 Ora, fra queste congruenze, se k e phi(n) sono coprimi avremo che gk è generatore modulo n, poichè perchè l\'ordine divida la phi, essendo k coprimo, dobbiamo moltiplicarlo per phi stesso. Se invece phi e k hanno un divisore comune, gk ammette ordine (phi(n))/k. Quindi vi sono phi(phi(n)) generatori fra tutte le congruenze possibili modulo n. q.e.d.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Sì, ok! Nota tuttavia che, alla luce della soluzione al problema n° 2 già postata da Sisifo, avresti potuto benissimo risparmiarti questa (inutile?!?) ulteriore fatica. Ciò detto, saluti...
 
 
 \"\"Il mestiere della parola somiglia per un verso a quello della guerra: c\'è più rischio che in altri, ma la fortuna vi è più rapida.\" - Jean de La Bruyère [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 25-11-2004 13:29 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

M\'è d\'obbligo un appunto circa un passaggio della soluzione di Boll al problema n° 1, cui prima (evidentemente) non avevo prestato la dovuta attenzione.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-21 10:30, Boll wrote:
 Poichè g è una radice primitiva modulo n avremo che il primo intero k tale che gk sia congruo a 1 mod n è phi(n). Quindi tutti i numeri gk con k < phi(n) hanno tutte congruenze diverse modulo n (e il numero di queste congruenze è, ovviamente, phi(n) poichè contiamo lo 0) poichè se esitessero due numeri distinti di tale forma con la stessa congruenza modulo n, prendiamo gj e gi allora tutti i numeri della forma gj+w gi+w, con w variabile negli interi non negativi, avrebbero la stessa congruenza moduolo n e, quando il maggiore di essi arriverà ad essere gphi(n) il minore diventerebbe un ordine modulo n minore di phi(n), ciò è evidentemente assurdo poichè g è radice primitiva modulo n. Quindi si hanno phi(n) congruenze distinte e la tesi è dimostrata.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Di fatto, il nostro piccolo amico ha dimostrato soltanto che, per ogni coppia di interi j, k = 0, 1, ..., phi(n) - 1: gj = gk mod n sse j = k, onde dedurne che l\'insieme G := {x € Z: x = gk mod n, per k = 0, 1, ..., phi(n) - 1} ha cardinalità appunto pari a phi(n), possiede cioè tanti elementi quanti sono i totativi di n.
 
 In altre parole, Boll ha mostrato che G è in corrispondenza biunivoca con l\'insieme T := {k € S: gcd(n, k) = 1}. Tuttavia, resta ancora da provare che, effettivamente: G = T. Posto tk = gk mod n, per ogni k = 0, 1, ..., phi(n) - 1, ammettiamo per assurdo che tk non sia un totativo di n. E allora: gcd(tk, n) > 1. Sia dunque q > 1 un divisore primo comune(1) ad n e tk. Per costruzione:
 
 gk = tk mod n; q | n & q | tk ==> gk = tk mod q ==> gk = 0 mod q
 
 sicché: g = 0 mod q, e quindi: gcd(g, n) >= q > 1. Del resto, fissati a, m € Z, con m > 1, esiste un x € N0 tale che: ax = 1 mod m sse: gcd(a, m) = 1. Dunque, in particolare, poiché g è radice primitiva mod n: gphi(n) = 1 mod n; e tuttavia: phi(n) > 0, per ogni n € N0. Dunque: gcd(n, g) = 1. Di qui l\'assurdo, e conseguentemente la tesi.
 
 (1): sia dk := gcd(tk, n). Poiché si ammette dk > 1, per il th. fondamentale dell\'Aritmetica, è sempre possibile rappresentare dk in forma della produttoria prodi=1...r (qi)^(ai), ove r € N0; q1, q2, ..., qr sono primi naturali distinti ed ai è un intero positivo, per ogni i = 1, 2, ..., r. E allora è sufficiente assumere q = qi, per qualche i = 1, 2, ..., r.
 
 
 \"Questo per isperienza è provato, che chi non si fida mai sarà ingannato.\" - Leonardo da Vinci [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-11-2004 15:47 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Ah, no, ok, eguaglia, avevo letto male, credevo bisognasse dimostrare che erano equipotenti, la tua puntualizzazione è dunque doverosa. Controlla il problema 3, l\'ho riscritto. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 23-11-2004 15:38 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-23 14:39, Boll wrote:
 Hitleuler, ma non bastava la corrispondenza biunivoca per dimostrare l\'equipotenza fra i due insiemi e, quindi, l\'uguaglianza della loro cardinalità phi(n)??? La tuo dimostrazione è solo un plus-ultra, quindi? Quindi il Problema 1 mi sembra ultimato...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 No, \"non bastava\" affatto!!! Leggi bene...
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-19 21:44, HiTLeuLeR wrote:
 Problema 1: si dimostri che, se g € Z è una radice primitiva mod n, essendo n un intero > 1, l\'insieme G := {x € Z: x = gk mod n, per k = 0, 1, ..., phi(n) - 1} eguaglia l\'insieme T dei totativi(1) di n, ove a mod b denota il resto della divisione intera di a per b, per ogni a, b € Z tali che b sia diverso da 0.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non ho chiesto di dimostrare che G e T sono equipotenti, bensì piuttosto che sono uguali, nel senso che possiedono gli stessi elementi. Ok?!?
 
 
 \"Fa più rumore una albero che cade, piuttosto che una foresta che cresce.
 - Lao Tze [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-11-2004 15:44 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

@Info: ho appena finito di leggere la tua soluzione al problema n° 2. Nulla da dire... a parte ch\'è ben fatta! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Bene, adesso che i problemi della prima serie sono stati tutti risolti, possiamo pure procedere con il proof di alcune proprietà dell\'ordine moltiplicativo che torneranno utili nella dimostrazione finale dell\'esistenza delle radici primitive per le particolari classi di interi n > 1 di cui già si è discusso, e diffusamente, in un altro thread (<a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =0\">qui</a>, per l\'esattezza).
 
 
 \"Chi vive senza follia non è cosi saggio come crede.\" - Francois de La Rochefoucald

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

PREMESSE: siano a, n € Z tali che: n > 1 e gcd(a, n) = 1. E allora, per il th. di Euler-Fermat: aphi(n) = 1 mod n, ove phi(·) denota, al solito, la totiente di Eulero. Ergo, l\'insieme X := {x € N0: ax = 1 mod n} è non vuoto. Del resto, per costruzione, X è un sottoinsieme di N, sicché, per il teorema del buon ordine, X ammette di certo un elemento minimo assoluto (peraltro, unico).
 
 Posto x0 := min(X), si dice che x0 rappresenta l\'ordine moltiplicativo di n alla base a, e si scrive orda(n), o equivalentemente il gaussiano di n alla base a, e si indica con gss(n,a).
 
 -------
 
 Problema 5: se p è un numero primo naturale > 2, a un intero primo con p e
 pr la massima potenza che divide a^orda(p) - 1, allora - essendo s € N0:
 orda(ps) = orda(p), se s <= r; orda(ps) = ps-r · orda(p), se s > r.
 
 Problema 6: se a è un intero della forma 4k+1, e 2r è la massima potenza di 2 che divide a-1, allora - essendo s € N0: orda(2s) = 1, se s <= r; orda(2s) = 2s-r, se s > r.
 
 Problema 7: se a è un intero della forma 4k+3, e 2r è la massima potenza di 2 che divide a+1, allora - essendo s € N0: orda(2) = 1; orda(2s) = 2,
 se 1 < s <= r; orda(2s) = 2s-r, se s > r.
 
 
 \"Forse non siamo capaci di amare proprio perché desideriamo essere amati, vale a dire vogliamo qualcosa dall\'altro invece di avvicinarci a lui senza pretese e colmarci soltanto della sua presenza.\" - Milan Kundera [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-11-2004 16:12 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-23 14:39, Boll wrote:
 Controlla il problema 3, l\'ho riscritto.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ok, adesso funge...
 
 
 \"Il mestiere della parola somiglia per un verso a quello della guerra: c\'è più rischio che in altri, ma la fortuna vi è più rapida.\" - Jean de La Bruyère