[N] Dividiamo le perfect powers...

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che, se
 a|b2
 b2|a3
 a3|b4
 b4|a5
 e così via,
 a=b [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 28-11-2004 21:48 ]

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

se per \"e cosi via\" s\'intende all\'infinito allora possiamo dire che: se a|b ne segue che a<=b e se a^n<=b^(n+1) per ogni n, allora a<=b
 e se b^n<=a^(n+1) per ogni n allora b<=a ed unendole è chiaro che ne risulta a=b

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-28 22:51, MASSO wrote:
 se per \"e cosi via\" s\'intende all\'infinito allora possiamo dire che: se a|b ne segue che a<=b e se a^n<=b^(n+1) per ogni n, allora a<=b
 e se b^n<=a^(n+1) per ogni n allora b<=a ed unendole è chiaro che ne risulta a=b
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 a non divide b...
 in secondo luogo le disuguaglianze che hai enunciato non valgono per ogni n, ma per ogni n pari in un caso e per ogni n dispari nell\'altro.

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

ho detto che se, in generale, a divide b allora sarà minore uguale di b (senza riferirmi in particolar modo agli a e b del testo); inoltre è vero che non valgono per ogni n ma a me è sufficente il fatto che per ogni n ve ne sia uno maggiore per cui valga; infatti la funzione esponenziale definita nei naturali cresce tanto più velocemente quanto più grande è la base e per ciò se a fosse maggiore di b vi sarebbe un n per cui a^n>b^(n+1) e ciò varebbe anche per tutti gli n seguenti e quindi si otterrebbe l\'assurdo. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque... dacché si ragiona di divisibilità e visto che il problema è stato pur sempre proposto da un fijolo d\'età liceale, dobbiamo ammettere che la condizione di divisibilità s\'intenda riferita agli interi (specificarlo, magari, la prossima volta...). Del resto, è pure evidente che la proprietà è falsa su Z espressa dalla traccia del problema è generalmente falsa su Z (basti porre a = 1 e b = -1, o viceversa). Dunque, assumiamo per il seguito a, b € N0.
 
 Ciò premesso, il problema si traduce sinteticamente nell\'imporre che, per ogni
 w € N0: a2w-1 | b2w & b2w | a2w+1. Di qui, stanti le assunzioni sopra specificate: a(2w-1)/(2w) <= b <= a(2w+1)/(2w), qual che sia w € N0. Pertanto, applicando lo squeeze principle al limite per w --> +inf: a <= b <= a, ovvero: a = b, q.e.d.
 
 Del resto, esiste un modo piuttosto elementare di pervenire alle stesse conclusioni, senza passare né per i limiti né per considerazioni più grossolane circa la \"rapidità di crescita degli esponenziali\". E mi vorrai scusare, masso, per questo giudizio (solo a tratti) gratuito, ma mi limito a descrivere i fatti per come li vedo io, ecco tutto. Prendi le mie parole per quel che sono: l\'espressione di una pura e insignificante sindacabile opinione!!!
 
 Se a = 1, allora: b2 | a3 ==> b = 1, e quindi la tesi. Sia a > 1. In tal caso, nondimeno: b > 1. Ergo, coerentemente con il teorema fondamentale dell\'Aritmetica, può porsi:
 
 <center>a = prodk=1...r (pk)^ak 0&&0 b = prodk=1...s (qk)^bk,</center>
 
 ove r, s € N0; ai e bj sono interi positivi, per ogni i = 1, 2, ..., r ed ogni j = 1, 2, ..., s; p1, p2, ..., pr e q1, q2, ..., qr formano, ciascuna, due sequenze di numeri primi (naturali) distinti.
 
 Sia dunque t un primo intero > 0. Se t | a, per transitività: t | b, stante che: a | b2. Analogamente, se t | b, nel qual caso: t | b2, allora nondimeno: t | a, visto che: b2 | a3. Con riferimento alle scomposizioni in fattori dei due interi, ne concludiamo che, necessariamente: r = s, e che inoltre, a meno di permutazioni sugli indici: pk = qk, per ogni k = 1, 2, ..., r. Si potrà scrivere pertanto:
 
 <center>a = prodk=1...r (pk)^ak 0&&0 b = prodk=1...r (pk)^bk,</center>
 
 ove valgono ancora le stesse condizioni sopradette circa gli esponenti delle singole scomposizioni e il range comune di produzione. Sia dunque p = pk, per qualche k = 1, 2, ..., r. Posto m := ak ed n := bk, osserviamo quindi che: a | b2, b2 | a3, a3 | b4, e così via all\'infinito sse: pm | p2n, p2n | p3m, p3m | p4n, and so on going...
 
 Dunque, per ogni h € N0: (2h-1)m <= 2hn <= (2h+1)m <= 2(h+1)n, ovvero: [(2h-1)/(2h)] · m <= n <= [(2h-1)/(2h)] · m, e di qui (per confronto): m = n, pur di passare al limite per h --> +inf. Di qui: ak = bk, e dunque l\'asserto!
 
 In alternativa, supponiamo per assurdo che m sia diverso da n, e mostriamo che esiste in tal caso un h0 € N0 tale che: i) (2h0-1)m > 2h0n, oppure: ii) 2h0n > (2h0+1)m, in contraddizione con le ipotesi.
 
 Naturalmente, non è lesivo di generalità supporre che m ed n siano coprimi fra loro, ché altrimenti, posto m\' = m/gcd(m,n) ed n\' = n/gcd(m,n), si trova che, fissato comunque un h € N0: (2h-1)m <= 2hn <= (2h+1)m, sse: (2h-1)m\' <= 2hn\' <= (2h+1)m\', ove m\' ed n\' sono primi l\'uno con l\'altro. A questo punto lascio a voi il piacere di concludere!!! Praticamente non resta nulla da dire, se non che... saluti!!!
 
 
 \"Rocso...\" - supern3t [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 30-11-2004 12:53 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Nell\'attesa che tu corregga il tuo messaggio affinchè diventi per me leggibile senza strabuzzare gli occhi, posto la mia soluzione, che mi sembra moooolto più elementare della tua, ma magari è sbagliata, chi può dirlo...
 
 se a|b2 --> k1a=b2
 se b2|a3 --> k2b2=a3
 se a3|b4 --> k3a3=b4
 se b4|a5 --> k4b4=a5
 
 Osserviamo che, dividendo le relazioni date otteniamo
 a2=k1k2=k3k4
 b2=k2k3=k4k5
 
 Ora, per calcolo diretto:
 (b2)2=a3k3
 a2k12=a3k3
 a=(k1)2/(k3)
 
 Ora, confrontando le due relazioni trovate
 (k1)4/k32=k1k2
 k13=k2k32
 sostituendo
 k12=k3k4
 k12=a2
 a=k1
 la prima relazione diventa
 a2=b2
 a=b
 
 Ammesso che abbia fatto bene i conti, credo di sì visto che li ho ricontrollati due volte, la mia solzuione non tira in ballo l\'infinito e si basa solo su una sterminata quantità di calcoli. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-11-2004 20:34 ]