OliForum Matematico

Dimostrare che e\':
<BR><!-- BBCode Start --><B>cotg(a)*cotg(3a)*cotg(5a)*cotg(7a)*cotg(9a)=sqrt(11)
<BR>essendo a=Pi/22</B><!-- BBCode End -->
<BR>(ovviamente e\' severamente vietato l\'uso di calcolatrici
<BR>e di software matematici ! )
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-12-2004 16:37 ]

Stando ad alcune mie prove, penso sia possibile una generalizzazione. Se si pone <!-- BBCode Start --><I>a=Pi/(2*p)</I><!-- BBCode End -->, con p dispari, si ha che:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>prod_{k=1, 3, 5...-->(p-2)} cotg(ka) = sqrt[Pi/(2*a)]</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>il che equivale a <!-- BBCode Start --><B>sqrt(p)</B><!-- BBCode End -->,
<BR>
<BR>Il problema sarebbe così ancora più carino.
<BR>
<BR>Karl mi confermerà il tutto, o mi getterà in uno stato di profonda depressione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>EDIT: Confusione tra parentesi, e una radice dimenticata. Ora è tutto tuo, Karl!
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 07-12-2004 13:56 ]

Se a=Pi/(2*p) allora il secondo membro della tua generalizzazione
<BR>diventa (2*Pi)*(2*p)/Pi=4p ,risultato che non mi pare
<BR>si adatti a tutti i casi (in particolare al quello che ho
<BR>messo io).
<BR>Spero di essere io in errore:non vorrei diventare la
<BR>(involontaria) causa di una tua ,sia pur temporanea,...depressione!
<BR>

Oh scusa, ho sbagliato a scrivere... Ora correggo!

Ora va bene.In realta\' il mio post e\' proprio basato
<BR>su questa formula (caso p=11).
<BR>Ora non resta che dimostrarla (forse con
<BR>un pensierino ..alle radici dell\'unita\').
<BR>

wow...allora ciò che ho appena scritto nn erano deliri completi! Mi manca qualcosa per andare avanti però (o meglio magari un approccio diverso nello stesso ambito)... <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 07-12-2004 14:42 ]

Ciao a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> sono il fratellino di Masso,il mio idolo che ha 9 in mate!
<BR>Lui mi ha detto di fare così:
<BR>cotg(a)*cotg(3a)*cotg(5a)*cotg(7a)*cotg(9a)=
<BR>cotg(a*3a*5a*7a*9a)
<BR>e ponendo:
<BR>a*3a*5a*7a*9a=11-ctg
<BR>tutto risolto.
<BR>Ciao a tutti!
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>\"Sono uno sfigato che non ho mai visto una fica tranne quella di mia madre\"Masso

<!-- BBCode Start --><B>Il complesso di Edipo+ignoranza </B><!-- BBCode End -->
<BR>Bell\' accoppiata!

L\'ignoranza è ciò che ci lega nella nostra sfigata famiglia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> .Quanto al complesso di Edipo ti riferisci lla complessità della mia soluzione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> .
<BR>Forse ho formalizzato troppo
<BR>
<BR>\"Date a Cesare ciò che è di Cesare e a Masso la merda\"Masso

Mi rendo conto soltanto adesso che forse sarebbe il caso di ignorare totalmente quest\'idiota, confidando nel fatto che, nonostante il suo evidentissimo grado di immunodeficienza mentale, il simpaticone possa abbandonare questi luoghi per non farvi mai più ritorno!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Inqualificabile...\" - HiTLeuLeR

Ma nn 6 tu quello con la maglietta rossa in questa foto?
<BR>http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... erby=hitsD
<BR>\"Se Hitler fosse ancora vivo cambierei idea riguardo i matrimoni gay\"Hitleur

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-07 14:27, karl wrote:
<BR>In realta\' il mio post e\' proprio basato
<BR>su questa formula (caso p=11).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ti giuro che non la conoscevo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

@DB85
<BR>Complimenti ,allora! Dal mio punto di vista
<BR>non era facile arrivarci.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-12-2004 18:32 ]

ci tengo a negare qualunque rapporto MassO; dato che oltre a non conoscerlo non mi sembra neanche tanto sveglio; sono atterrito dal solo fatto che possa esistere gente simile, mi chiedo solo perchè non sia stato ancora bannato; il problema è molto interessante solo che con i complessi ho poca familiarità, per ora sono solo riuscito a ridurlo a sqrt(11)=cos(2a)cos(4a)cos(6a)cos(8a)cos(10a)/cos(a)cos(3a)cos(5a)cos(7a)cos(9a)
<BR>anche se non penso possa servire a molto

Sia p un intero dispari.Le radici del polinomio x^2p-1
<BR>sono -1,+1,e p-1 coppie di complessi coniugati aventi somma
<BR>2cos(2kPi/2p) e per prodotto 1.
<BR>Analogamente le radici del polinomio x^p-1
<BR>sono 1 e (p-1)/2 coppie di complessi coniugati aventi somma
<BR>2cos(2kPi/p) e per prodotto 1.Pertanto:
<BR>(x^2p-1)/(x²-1)=
<BR>=Prod[k=1..(p-1)](x²-2xcos(2kPi/2p)+1)
<BR>e per x=1:
<BR>p=2^2p-2Prod[k=1..(p-1)](sin²(kPi/2p))
<BR>Ovvero:
<BR><!-- BBCode Start --><B> (a) sqrt(p)/2^(p-1)=Prod[k=1..(p-1)](sin(kPi/2p))</B><!-- BBCode End -->
<BR>(x^p-1)/(x-1)=
<BR>=Prod[k=1..(p-1)/2](x²-2xcos(2kPi/p)+1)
<BR>e per x=1:
<BR>p=2^(p-1)Prod[k=1..(p-1)/2](sin²(kPi/p))
<BR>Ovvero:
<BR>sqrt(p)/2^(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(kPi/p))
<BR>Oppure:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(b) sqrt(p)/2^(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(2kPi/2p))
<BR>[=Prod[k=1..(p-1)/2](cos((p-2k)Pi/2p)]</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dividendo (a) per (b):
<BR><!-- BBCode Start --><B>(c) 1/2^(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin[(2k-1)Pi/2p])</B><!-- BBCode End -->
<BR>Osserviamo ora che,essendo (p-2k)/2+(2k-1)/2=(p-1)/2,gli argomenti
<BR>dei seni e dei coseni in (b) e (c) sono i medesimi (anche se in
<BR>ordine inverso) e quindi, dividendo (b) per (c), risulta:
<BR><!-- BBCode Start --><B>sqrt(p)=Prod[k=1..(p-1)/2](cotg[(2k-1)Pi/2p])</B><!-- BBCode End -->
<BR>Per p=11 si trova la richiesta identita\';per p=9 si ottiene:
<BR><!-- BBCode Start --><B>cotg10°cotg30°cotg50°cotg70°=3</B><!-- BBCode End -->
<BR>che mi pare sia una relazione assegnata in una IMO ( o in
<BR>una gara equivalente).
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 08-12-2004 21:24 ]