OliForum Matematico

Siccome marco e mind, se non sbaglio, hanno parlato della serie di Mengoli in un altro filo del forum, mi sono detto che avrei potuto postare una questione \"elementare\" che, in qualche modo, la riguarda da vicino... Per quanto mi è dato sapere, il problema è del tutto originale!
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<BR><font color=red><!-- BBCode Start --><B>Problema:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che, per ogni k intero > 0, la somma della serie sum_n=1...+inf 1/[n(n+1)...(n+k)] è un numero razionale.
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<BR>Buon lavoro,
<BR>- salvatore tringali

Ho trovato una risposta parziale al quesito per K=3.
<BR>Sviluppando il termine generale della serie in fratti semplici
<BR>si ha:
<BR>1/[(n)(n+1)(n+2)(n+3)]=
<BR>1/6*1/n-1/2*1/(n+1)+1/2*1/(n+2)-1/6*1/(n+3)
<BR>Sommando su n da 1 ad n medesimo ,con qualche
<BR>calcolo,risulta:
<BR>Sn=1/6[1+1/2+1/3+1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)]+1/2[1/(n+2)-1/2]
<BR>Per n-->inf risulta S=1/18 che e\' razionale.
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Per un k generico la risposta e\':
<BR><!-- BBCode Start --><B>S=1/(k*k!)</B><!-- BBCode End -->
<BR>A questo risultato sono arrivato con i metodi dell\'analisi
<BR>discreta e dunque O.T.
<BR>

Che tu sia pervenuto a quel risultato valendoti dei \"potenti\" mezzi dell\'Analisi Discreta, beh... mi fa piacere! Tuttavia, il <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> cui, personalmente, avrei pensato non ne fa menzione alcuna, anzi... Il problema resta comunque o.t., e del resto così di fatto l\'ho riconosciuto io per primo, contrassegnandolo come un [+].
<BR>
<BR>Pur tuttavia, mi si lasci dire che <!-- BBCode Start --><I>qualsiasi</I><!-- BBCode End --> studente in età liceale, a parte che ogni più mediocre universitario, con una minima conoscenza riguardo alle serie (la loro definizione e la nozione di convergenza) dovrebbe essere in grado, almeno in linea di principio, di risolverlo! Quest\'è quanto...
<BR>
<BR>Boh, si può aspettare, ché forse qualcuno proporrà una soluzione che non coinvolga aspetti troppo avanzati della teoria, anche se personalmente continuo a sostenere che avvicinarsi a una certa Matematica potrebbe giovare anche agli olimpionici, soprattutto ai più grandicelli... Ma vabbe\', quest\'è soltanto una mia inutile opinione, fingete pure di non averla letta!!!
<BR>
<BR>In alternativa, per ammazzare il tempo, potresti pur sempre proporre la TUA soluzione, karl. Ti scongiuro, però... Cerca di non essere parsimonioso di dettagli, vorrei capirci anch\'io qualcosa, sai?! Grazie... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Sto scrivendo quanto richiesto con un editor matematico.
<BR>Non potendo certo approfondire la cosa con troppi
<BR>dettagli (di cui io stesso non ho che qualche rudimento)
<BR>cerco di semplificare la risposta riducendo al minimo
<BR>la \"ferraglia matematica \" che essa si trascina.
<BR>Tuttavia penso che alla fine possa risultare utile
<BR>(almeno come stimolo) a me innanzitutto e poi a qualche
<BR>altro amico che volesse guardare questo altro aspetto
<BR>della matematica.
<BR>Naturalmente resta escluso HEuler la cui visione
<BR>globale dell\'analisi non ha certo bisogno di ulteriori
<BR>spinte!
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 26-12-2004 22:52 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-26 22:48, karl wrote:
<BR>Naturalmente resta escluso HEuler la cui visione
<BR>globale dell\'analisi non ha certo bisogno di ulteriori
<BR>spinte!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Allora lasciami aggiungere che, là dove ironia non abbia corso, quest\'ultima tua affermazione si deve classificare, né più né meno, come una benemerita castroneria!!! Si chiama consapevolezza di sé e dei propri limiti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/eullo.bmp"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-12-2004 01:22 ]

Interessante, molto interessante!!! Non ti nascondo che ignoravo completamente persino l\'esistenza della regola di sommazione che tu hai utilizzato. Davvero notevole! Beh, tenterò di approfondire la questione...
<BR>
<BR>Adesso sarebbe cosa buona e giusta che qualcuno ritrovasse pure una soluzione elementare allo stesso problema. Confrontare varie tecniche (btw, quella suggerita da karl ha chiaramente il pregio di essere piuttosto generale) è sempre un fatto positivo, no? Allora su, cari, su...

Per una volta devo dire che hai proposto veramente un bel problema Euler...
<BR>
<BR>Inoltre hai dato il fondamentale indizio della serie di Mengoli...bella generalizzazione; infine, ora che karl ha dato il risultato generale, spero proprio che qualcuno rispolveri le prime armi del problem solving e dimostri con l\'eleganza dovuta la tesi.
<BR>
<BR>Risultato veramente carino...
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Maaaaaamma, so\' diventato tutto roooooosso! Sam, tu mi fai strani effetti, sai? Ti prego, basta con questa corte serrata, o alla lunga finirò per cederti...

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.thelearningtree.it/eserc6.gif"><!-- BBCode End -->

Essì, è proprio così! E visto che l\'appetito vien mangiando, eccovene un altro, sullo stesso genere. Una volta ancora, il problema è rivolto, in particolare, a chi già possieda una minima dimestichezza con la teoria di base delle serie.
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<BR><font color=red><!-- BBCode Start --><B>Problema:</B><!-- BBCode End --></font> per ogni m, n € N₀, sia S(m,n) := sum_k=1...+inf 1/[(mk+n)k]. Si mostri allora che S(m,n) è razionale sse m | n.
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<BR>EDIT: avevo omesso di scrivere metà della traccia, asdf... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-12-2004 13:11 ]

Avrei dimostrato la prima parte del quesito e cioe\':
<BR>m|n-->S(m,n) razionale
<BR>Poniamo:
<BR>n=m*r (con r intero positivo)
<BR>St=sum[k=1...t] (per comodita\' di scrittura).
<BR>Abbiamo
<BR>1/(mk^2+nk)=1/n*[1/k-1/(k+r)] e sommando su k da 1 a t:
<BR>St[1/(mk^2+nk)]=1/n*St(1/k)-1/n*St[1/(k+r)]
<BR>Ora, essendo t generico,si puo\' supporre t>r e quindi:
<BR>St[1/(mk^2+nk)]=1/n*[1+1/2+..+1/r+<font color=red>1/(r+1)+1/(r+2)+..+1/t</font>]-
<BR>-1/n*[<font color=red>1/(r+1)+1/(r+2)+..+1/t</font>+1/(1+t)+1/(2+t)..+1/(r+t)]=
<BR>=1/n*[1+1/2+..+1/r]-1/n*[1/(1+t)+1/(2+t)..+1/(r+t)]
<BR>E dunque:
<BR>S(m,n) =lim[t-->inf]St[1/(mk^2+nk)]=1/n*[1+1/2+..+1/r]=num.razionale
<BR>

Per la seconda parte si deve dimostrare che:
<BR><!-- BBCode Start --><B>S(m,n) razionale -->m|n</B><!-- BBCode End -->
<BR>Con le stesse notazioni della precedente mia risposta
<BR>osservo che si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><B>St[1/(mk^2+nk)]=1/n*[St(1/k)-St(1/(k+n/m))] </B><!-- BBCode End -->
<BR>Poiche\' per ipotesi il limite di 1/n*[St(1/k)-St(1/(k+n/m))]
<BR>e\' un numero razionale l allora tale differenza deve essere
<BR>del tipo <!-- BBCode Start --><B>l+St[A/(t+q)] (con q intero)</B><!-- BBCode End --> e cio\' e\' possibile
<BR><!-- BBCode Start --><B>se n/m e\' intero.</B><!-- BBCode End -->
<BR>

Ok in quanto alla prima metà della soluzione! Per il resto, boh... Non riesco a capire!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-28 20:24, karl wrote:
<BR>[...] Poiche\' per ipotesi il limite di 1/n*[St(1/k)-St(1/(k+n/m))] e\' un numero razionale l allora tale differenza deve essere del tipo l+St[A/(t+q)] (con q intero) e cio\' e\' possibile se n/m e\' intero.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non ti seguo... Potresti essere più esplicito?!? Anzi, meglio... Potresti far finta ch\'io non ne capisca una mazza di ste robe?!? Bene, grazie... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">