[A] Contiamo le sommatorie
Moderatore: tutor
Cavoli, non credevo esistesse un risultato così forte della cosa...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>Ri-propongo il problema, esprimere quella roba senza l\'ultilizzo della \"formula di Viglietta\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Ri-propongo il problema, esprimere quella roba senza l\'ultilizzo della \"formula di Viglietta\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
a me viene in mente una specie di piramide....ma sotto coi calcoli:
<BR>
<BR>sum<sub>k=1...n</sub>[k(k+1)/2]=
<BR>=sum<sub>k=1...n</sub>[(k<sup>2</sup>)/2 + k/2]=
<BR>=sum<sub>k=1...n</sub>[(k<sup>2</sup>)/2 + k/2]=
<BR>=[sum<sub>k=1...n</sub>(k<sup>2</sup>)]/2 + [sum<sub>k=1...n</sub>(k)]/2=
<BR>=n(n+1)(2n+1)/12 + n(n+1)/4 =
<BR>=n(n+1)(2n+1+3)/12=
<BR>=n(n+1)(n+2)/6
<BR>
<BR>che, in effetti, risulta proprio essere la \"formula di Viglietta\"...
<BR>adesso(prima di andarmi a cercare la sua dimostrazione nel forum)cercherò di dimostrarmela per conto mio, ma in questo momento non ho alcuna idea... ci penserò.
<BR>
<BR>EDIT: D\'OH l\'ha già scritta un altro....<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: frengo il 09-01-2005 18:23 ]
<BR>
<BR>sum<sub>k=1...n</sub>[k(k+1)/2]=
<BR>=sum<sub>k=1...n</sub>[(k<sup>2</sup>)/2 + k/2]=
<BR>=sum<sub>k=1...n</sub>[(k<sup>2</sup>)/2 + k/2]=
<BR>=[sum<sub>k=1...n</sub>(k<sup>2</sup>)]/2 + [sum<sub>k=1...n</sub>(k)]/2=
<BR>=n(n+1)(2n+1)/12 + n(n+1)/4 =
<BR>=n(n+1)(2n+1+3)/12=
<BR>=n(n+1)(n+2)/6
<BR>
<BR>che, in effetti, risulta proprio essere la \"formula di Viglietta\"...
<BR>adesso(prima di andarmi a cercare la sua dimostrazione nel forum)cercherò di dimostrarmela per conto mio, ma in questo momento non ho alcuna idea... ci penserò.
<BR>
<BR>EDIT: D\'OH l\'ha già scritta un altro....<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: frengo il 09-01-2005 18:23 ]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-08 13:53, MindFlyer wrote:
<BR>Si dimostra che
<BR>
<BR>Sum(i_1=0..n : Sum(i_2=0..i_1 : Sum(i_3=0..i_2 : ... Sum(i_k=0..i_(k-1) : i_k )...))) = Coeff.Bin.(n+k,k+1).
<BR>
<BR>Cerca nel forum \"formula di Viglietta\".
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>per la prima volta trova un\'applicazione... wow
<BR>On 2005-01-08 13:53, MindFlyer wrote:
<BR>Si dimostra che
<BR>
<BR>Sum(i_1=0..n : Sum(i_2=0..i_1 : Sum(i_3=0..i_2 : ... Sum(i_k=0..i_(k-1) : i_k )...))) = Coeff.Bin.(n+k,k+1).
<BR>
<BR>Cerca nel forum \"formula di Viglietta\".
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>per la prima volta trova un\'applicazione... wow
_k_
La mia dimostrazione è simile a quella di frengo, ma sfrutta un\'altra fantastica (almeno per me) formulina che ho \"scovato\" smanettando e credo di poter usare anche per dimostrare la Viglietta\'s, ve la propongo, chiedendo inoltre se qualcuno ne conosce il nome
<BR>
<BR>Trovare una formula per esprimere:
<BR>sum<sub>i=1...n</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) ovviamente in funzione di n e k<font color=white>
<BR>
<BR>Trovare una formula per esprimere:
<BR>sum<sub>i=1...n</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) ovviamente in funzione di n e k<font color=white>
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Lascio la mia soluzione in bianco: è un esercizio carino e vi consiglio di farlo. Boll, vorrei inoltre vedere, naturalmente solo se ti va, la tua dimostrazione.
<BR><font color=white>
<BR>
<BR>sum<sub>i=1...n</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) è uguale a:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(k+n+1)!/[(k+2)*(n-1)!]</B><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>Si dimostra facilmente per induzione. Dopo averne verificata la validità per n=2 e n=3, supponiamola vera per n, e mostriamo che essa vale anche per n+1. Dunque:
<BR>sum<sub>i=1...n+1</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) = sum<sub>i=1...n</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) + prod<sub>j=0...k</sub>(n+1+j) = (k+n+1)!/[(k+2)*(n-1)!] + (k+n+1)!/n! = [n*(k+n+1)! + (k+2)*(k+n+1)!]/[(k+2)*n!] = (k+n+2)!/[(k+2)*n!].
<BR>
<BR>La formula è cosi dimostrata per ogni n naturale, secondo il principio di induzione.
<BR></font><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 23:57 ]
<BR><font color=white>
<BR>
<BR>sum<sub>i=1...n</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) è uguale a:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(k+n+1)!/[(k+2)*(n-1)!]</B><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>Si dimostra facilmente per induzione. Dopo averne verificata la validità per n=2 e n=3, supponiamola vera per n, e mostriamo che essa vale anche per n+1. Dunque:
<BR>sum<sub>i=1...n+1</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) = sum<sub>i=1...n</sub>(prod<sub>j=0...k</sub>(i+j)) + prod<sub>j=0...k</sub>(n+1+j) = (k+n+1)!/[(k+2)*(n-1)!] + (k+n+1)!/n! = [n*(k+n+1)! + (k+2)*(k+n+1)!]/[(k+2)*n!] = (k+n+2)!/[(k+2)*n!].
<BR>
<BR>La formula è cosi dimostrata per ogni n naturale, secondo il principio di induzione.
<BR></font><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 23:57 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow