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Siano a,b,c numeri reali positivi. Dimostrare che
 <IMG SRC="http://olimpiadi.ing.unipi.it/t2/img107.gif">
 Non è sufficente il fatto che il polinomio è simmetrico e i coefficenti di a,b,c sono unitari per dimostrare che il minimo è 9/4?
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 26-01-2005 13:15 ]

Se non mi sbaglio no (serve almeno anche il fatto che sia omogeneo, se no il minimo e\' banalmente zero).
 In generale non c\'e\' un modo \"che vada bene per tutti i polinomi\" per trovare i minimi di cose di questo tipo, vanno fatti un po\' a mano a colpi di disuguaglianza tra le medie (o altre disuguaglianze simili... conosci un po\' l\'argomento? Se no vediamo di dire due parole, ce n\'e\' un po\' bisogno in effetti).
 Comunque, come proponevi di risolverlo? Scrivi, scrivi, che forse si puo\' \"aggiustare\"...
 
 ciao,
 --federico

Il problema proviene dal giornalino n°2 (e ne sei consapevole perché hai linkato la gif), quindi questo thread dovresti metterlo in quel posto (ovvero la categoria relativa al giornalino).
 
 Comunque, per rispondere alla tua domanda... questo non è un polinomio.

Anche in questo esercizio:
 <IMG SRC="http://olimpiadi.ing.unipi.it/images/gn1p0/img45.gif">
 vale la stessa storia(sostituire ad a,b,c il valore 1 per ottenere il minimo).
 Perchè è sufficente sostituire ad a,b,c 1 per ottenre il minimo?C\'è qualche spiegazione rigorosa?

Convessità?

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-25 16:22, MindFlyer wrote:
 Convessità?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Perchè la convessità?

Beh, se una funzione di più variabili reali è convessa, simmetrica ed assume minimo, allora il minimo si trova uguagliando tutte le variabili.

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-25 16:15, MindFlyer wrote:
 Comunque, per rispondere alla tua domanda... questo non è un polinomio.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 ... e MindFlyer vince il premio per l\'intervento più puntiglioso di tutto Gennaio.

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-25 16:36, MindFlyer wrote:
 Beh, se una funzione di più variabili reali è convessa, simmetrica ed assume minimo, allora il minimo si trova uguagliando tutte le variabili.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>Scusa la mia ignoranza,ma di funzioni convesse non ne ho mai sentito parlare ...Ma come si fa a dimostrare,con metodi elementari,che una funzione è convessa? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 25-01-2005 16:43 ]

Dicesi funzione convessa una fz t.c. per ogni x e y nel suo dominio, vale che
 
 f( (x+y)/2 ) <= [ f(x) + f(y) ] / 2
 
 (la fz della media degli input \"sta sotto\" la media degli output)
 
 Nel caso di funzioni in più variabili, x e y come sopra sono vettori con più coordinate (le somme e le medie si fanno coordinata per coordinata).
 
 C\'è un interessante problema graziosissimo postato qualche giorno fa da Sprmnt21 che gioca un po\' con le funzioni convesse e che, se sei interessato, ti consiglio di tentare (si chiama \"Funzioni più-che-convesse\").
 
 Ciao. M.[addsig]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-25 16:42, Cu_Fa wrote:
 Ma come si fa a dimostrare,con metodi elementari,che una funzione è convessa?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ci sono moltissime proprietà elementari delle funzioni convesse, che puoi usare come criteri di convessità. Ad esempio, la somma di funzioni convesse è convessa, la composizione di funzioni convesse e crescenti è convessa e crescente... Cerca un po\' su internet e troverai tanta roba.

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-25 16:50, marco wrote:
 Dicesi funzione convessa una fz t.c. per ogni x e y nel suo dominio, vale che
 f( (x+y)/2 ) <= [ f(x) + f(y) ] / 2
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Acc, faccio ancora il puntiglioso, ma forse questa volta ci vuole:
 la tua definizione va bene se f è continua, ma in generale la definizione è che per ogni x, y nel dominio e t in [0,1], vale
 
 f(tx+(1-t)y) <= tf(x)+(1-t)f(y).
 
 Per questo motivo, il dominio dev\'essere un insieme convesso.

s\'era discusso di questa in un thread titolato (fantasiosamente) \"\"<A HREF="http://olimpiadi.sns.it/modules.php?op= ... 5&start=30" TARGET="_blank">questa è bella</A> nella pagina linkata e nella seguente...
 comunque è una gran bella disuguaglianza, tutt\'altro che banale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-25 16:19, Cu_Fa wrote:
 <IMG SRC="http://olimpiadi.ing.unipi.it/images/gn1p0/img45.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Boh, non so se si fa per convessità... (forse M.F. ci può aiutare).
 
 Dato che non sono bravo con le diseguaglianze, ho usato un po\' di sana forza bruta. Riscrivo la tesi:
 
 Butto via i denominatori e espando i prodotti:
 
 a3 + a2b + a2c + abc + < rotazioni > >= 3/2 [ < a2b > + 2 abc ]
 
 2 < a3 > + 2 < a2b > + 6 abc >= 3 < a2b > + 6 abc
 
 2 < a3 > >= < a2b >.
 
 Il primo membro è la somma simmetrica di a3, il secondo lo è di a2b.
 
 La tesi è vera per il bunching. []
 
 [le notazioni con < > non sono standard, quindi non cercatele in letteratura, ché non le troverete... è un modo stenografico di scrivere tutti i monomi con una certa forma]
 
 Ghi!! Sono felicissimo: my first ever soluzione bunchosa...
 
 Ciao. M.
 
 \"Maybe. But so great a claim will need to be established, and clear proofs will be required.\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 26-01-2005 12:06 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-26 12:05, marco wrote:
 Boh, non so se si fa per convessità... (forse M.F. ci può aiutare).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non so se quella cosa sia convessa, ho detto \"Convessità?\" per buttare lì un\'idea che forse avrebbe aiutato a spiegare perché il minimo si ottiene uguagliando le variabili.
 La mia mezza idea iniziale era di dimostrare separatamente che i 3 addendi della forma a/(b+c) sono convessi, ma ovviamente ad un\'occhiata più attenta si vede che non lo sono...

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