Algebra e Combinatoria da Febbraio e poco in su
Moderatore: tutor
Combinatoria.
<BR>1.2] Si dica quanti sono i sottoinsiemi di {1,2,3,4,5,6,7} tali che la somma dei propri elementi sia un numero dispari.
<BR><font color=white>I sottoinsiemi cercati sono tutti e soli quelli con un numero dispari di elementi dispari, infatti è noto e ovvio che altrimenti accoppiando due dispari si ottiene un pari.
<BR>Nel nostro caso, ci sono 4 modi di includere un solo dispari nel sottoinsieme, e 4 modi di includerne tre.
<BR>Per ognuno di questi modi, si possono aggiungere numeri pari a piacere, che non influiscono sulla parità del sottoinsieme; contando le varie combinazioni di 0,1,2,3 numeri pari da inserire, si vede che ci sono 8 modi possibili.
<BR>Il totale dei sottoinsiemi cercati è quindi 4*8 + 4*8 = 64.
<BR>p.s: tutte i \'numeri di modi possibili\' si calcolano con i binomiali;
<BR>p.p.s: forse ho trovato una cosa interessante, ovvero che i sottoinsiemi di un insieme {1,2,...,n} sono sempre metà \'somma-pari\' e metà \'somma-dispari\', ovvero 2<sup>n-1</sup> di ciascun tipo (dimostrato con una specie di induzione) solo che non so a cosa possa servire...</font>
<BR>
<BR>1.5] In un torneo di tennis 8 persone decidono di giocare gli incontri di doppio in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell\'intero torneo?
<BR><font color=white>In ogni incontro sono in campo 4 giocatori; ci sono 70 modi di scegliere 4 persone in un insieme di 8 (binomiali). Per ogni quartetto (es. A-B-C-D) si giocano tre incontri (AB vs CD , AC vs BD , AD vs BC). In totale quindi il numero di incontri è 70*3 = 210.</font>
<BR>
<BR>4.8] (Scacchiera 10 x 10 e tetramini).
<BR><font color = white>Dimostrare che non si può tassellare la scacchiera con 25 tetramini a \'T\':
<BR>coloriamo la scacchiera di bianco e nero, a scacchiera (!); per la sua forma il tetramino a T copre sempre tre caselle di un colore e una dell\'altro: i pezzi a T quindi possono eventualmente coprire lo stesso numero di caselle bianche e nere solo dopo un numero pari di mosse, ma per la scacchiera 10x10 (che chiaramente ha lo stesso numero di bianche e nere) ne servirebbero 25, dunque è impossibile.
<BR>
<BR>Dimostrare che non si può tassellare la scacchiera con 25 tetramini dritti:
<BR>coloriamo la scacchiera di quattro colori a strisce diagonali, in modo tale che il pezzo dritto copra necessariamente una casella per colore; a ogni mossa risultano coperte lo stesso numero di caselle per ogni colore, ma nell\'intera scacchiera ci sono 24 caselle di un colore, 26 di un altro e 25 dei due rimanenti, perciò la tassellazione con i tetramini dritti è impossibile.
<BR>
<BR>Si può ricoprire la scacchiera con tetramini a L ? NO
<BR>Dim. Coloriamo la scacchiera a strisce bianche e nere [OT] forza juve [/OT]: la scacchiera ha caselle bianche e nere in ugual numero, e ogni pezzo a L copre tre caselle di un colore e una dell\'altro, quindi può ricoprire lo stesso numero di caselle bianche e nere solo dopo un numero pari di mosse; per ricoprire la scacchiera servirebbero 25 pezzi, per cui è impossibile.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 06-02-2005 22:13 ]
<BR>1.2] Si dica quanti sono i sottoinsiemi di {1,2,3,4,5,6,7} tali che la somma dei propri elementi sia un numero dispari.
<BR><font color=white>I sottoinsiemi cercati sono tutti e soli quelli con un numero dispari di elementi dispari, infatti è noto e ovvio che altrimenti accoppiando due dispari si ottiene un pari.
<BR>Nel nostro caso, ci sono 4 modi di includere un solo dispari nel sottoinsieme, e 4 modi di includerne tre.
<BR>Per ognuno di questi modi, si possono aggiungere numeri pari a piacere, che non influiscono sulla parità del sottoinsieme; contando le varie combinazioni di 0,1,2,3 numeri pari da inserire, si vede che ci sono 8 modi possibili.
<BR>Il totale dei sottoinsiemi cercati è quindi 4*8 + 4*8 = 64.
<BR>p.s: tutte i \'numeri di modi possibili\' si calcolano con i binomiali;
<BR>p.p.s: forse ho trovato una cosa interessante, ovvero che i sottoinsiemi di un insieme {1,2,...,n} sono sempre metà \'somma-pari\' e metà \'somma-dispari\', ovvero 2<sup>n-1</sup> di ciascun tipo (dimostrato con una specie di induzione) solo che non so a cosa possa servire...</font>
<BR>
<BR>1.5] In un torneo di tennis 8 persone decidono di giocare gli incontri di doppio in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell\'intero torneo?
<BR><font color=white>In ogni incontro sono in campo 4 giocatori; ci sono 70 modi di scegliere 4 persone in un insieme di 8 (binomiali). Per ogni quartetto (es. A-B-C-D) si giocano tre incontri (AB vs CD , AC vs BD , AD vs BC). In totale quindi il numero di incontri è 70*3 = 210.</font>
<BR>
<BR>4.8] (Scacchiera 10 x 10 e tetramini).
<BR><font color = white>Dimostrare che non si può tassellare la scacchiera con 25 tetramini a \'T\':
<BR>coloriamo la scacchiera di bianco e nero, a scacchiera (!); per la sua forma il tetramino a T copre sempre tre caselle di un colore e una dell\'altro: i pezzi a T quindi possono eventualmente coprire lo stesso numero di caselle bianche e nere solo dopo un numero pari di mosse, ma per la scacchiera 10x10 (che chiaramente ha lo stesso numero di bianche e nere) ne servirebbero 25, dunque è impossibile.
<BR>
<BR>Dimostrare che non si può tassellare la scacchiera con 25 tetramini dritti:
<BR>coloriamo la scacchiera di quattro colori a strisce diagonali, in modo tale che il pezzo dritto copra necessariamente una casella per colore; a ogni mossa risultano coperte lo stesso numero di caselle per ogni colore, ma nell\'intera scacchiera ci sono 24 caselle di un colore, 26 di un altro e 25 dei due rimanenti, perciò la tassellazione con i tetramini dritti è impossibile.
<BR>
<BR>Si può ricoprire la scacchiera con tetramini a L ? NO
<BR>Dim. Coloriamo la scacchiera a strisce bianche e nere [OT] forza juve [/OT]: la scacchiera ha caselle bianche e nere in ugual numero, e ogni pezzo a L copre tre caselle di un colore e una dell\'altro, quindi può ricoprire lo stesso numero di caselle bianche e nere solo dopo un numero pari di mosse; per ricoprire la scacchiera servirebbero 25 pezzi, per cui è impossibile.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 06-02-2005 22:13 ]
@Enomis:
<BR>
<BR>Confermo quello che ha detto Igor. Una funzione costante è una funzione che ha per immagine un solo elemento. Ossia manda tutti gli elementi nel dominio in un unico valore. Es.: F:R-->R, F(x) = 37.
<BR>
<BR>La soluzione A.1.6 è sbagliata. Infatti per avere la divisibilità dei polinomi, occorre che un polinomio sia multiplo dell\'altro, a prescindere dal valore dell\'incognita. Invece, se svolgi i tuoi calcolacci, trovi che le tue soluzioni per a dipendono da x. Ossia, la divisibilità vale solo in un punto, ma non globalmente.
<BR>
<BR>Suggerimento: quando devi scrivere la radice quadrata in modo testo, usa la funzione sqrt(-)...
<BR>
<BR>@Tutti: Ho aggiornato la lista dei solutori a pag.1 Spero di poter guardare quanto prima le soll. in attesa di giudizio...
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
<BR>
<BR>Confermo quello che ha detto Igor. Una funzione costante è una funzione che ha per immagine un solo elemento. Ossia manda tutti gli elementi nel dominio in un unico valore. Es.: F:R-->R, F(x) = 37.
<BR>
<BR>La soluzione A.1.6 è sbagliata. Infatti per avere la divisibilità dei polinomi, occorre che un polinomio sia multiplo dell\'altro, a prescindere dal valore dell\'incognita. Invece, se svolgi i tuoi calcolacci, trovi che le tue soluzioni per a dipendono da x. Ossia, la divisibilità vale solo in un punto, ma non globalmente.
<BR>
<BR>Suggerimento: quando devi scrivere la radice quadrata in modo testo, usa la funzione sqrt(-)...
<BR>
<BR>@Tutti: Ho aggiornato la lista dei solutori a pag.1 Spero di poter guardare quanto prima le soll. in attesa di giudizio...
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
@Simo the Wolf:
<BR>
<BR>La tua dim. dell\'A.3.8 contiene un discreto assortimento di errori:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>...è monotona crescente e quindi prenderà tutti i valori in R
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Falso! Monotona crescente NON è surgettiva. Controesempio: f(x) = exp(x).
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>f(f(x+f(y))+(-y))=f(f(x)))
<BR>x+f(y)+f(-y)=x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>La mancanza di una spiegazione comporta che potrei avere equivocato il passaggio, ma mi sembra di capire che passi dalla prima alla seconda usando f( f(x+f(y)) + -y ) =?= ff(x+f(y) + f(-y), ossia, scrivendolo meglio, f( A + B ) = f(A) + f(B). Questa proprietà si chiama linearità, e non è affatto detto che sia vera per la tua f(-).
<BR>
<BR>Ah, no. Ho capito. Il passaggio è corretto; questo è un modo molto brutto di scrivere una soluzione: il correttore ha l\'impressione che ci sia un errore anche dove è giusto. Una parola in più come ad esempio: \"utilizzo la formula (1) con x = Tizio e y = Caio\" avrebbe fugato i dubbi.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>f(x) è monotona decrescente e quindi anche x-f(x) è monotona decrescente
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A questo punto c\'è poco da salvare, ma ti sottolineo anche questo: se f(.) è decrescente, allora -f(.) è crescente e somma di roba crescente è crescente. Quindi x-f(x) è monotona crescente, semmai.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Quindi le uniche soluzioni sono f(x)=x e f(x)=-x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eccolo! Questo ti costa un punto netto. Hai dimostrato che le eventuali soluzioni possono essere solo +/-x. Dove hai dimostrato che sono effettivamente soluzioni?
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>quindi f(f(x))=xn+k per ogni k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Attenzione ai quantificatori logici: semmai, esiste k t.c. per ogni x. Detto in altri termini, f f(x) - x^n è costante.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>scegliamo f(y) e poi x tale che x+f(y)>1.
<BR>[...](x+f(y))n+k>xn+f(y)n+k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non ho capito il passaggio. Suppongo che sia utilizzato il Teo del Binomio. Anche qui, una parola in più non avrebbe guastato...
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Spero di non essermi dilungato troppo..
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, direi proprio di no..
<BR>
<BR>In sintesi: nel caso n=1 manca di dimostrare la surgettività, ma sono date due soluzioni (sono le uniche??). Peccato che non hai verificato che siano proprio soluzioni. Il caso difficile invece è risolto. Consiglio generale: non nego che tu ce l\'abbia avuto chiaro nella testa, ma cerca di dimostrare meglio: non c\'è niente di peggio di presentarsi alle gare con una soluzione comprensibile a sprazzi, infarcita di imprecisioni qui e là...
<BR>
<BR>Ciao. M.
<BR>
<BR>\"It\'s up to you how far you go /
<BR>If you don\'t try you\'ll never know /
<BR>And so my lad as I\'ve explained /
<BR>Nothing ventured, nothing gained.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 07-02-2005 11:42 ]
<BR>
<BR>La tua dim. dell\'A.3.8 contiene un discreto assortimento di errori:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>...è monotona crescente e quindi prenderà tutti i valori in R
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Falso! Monotona crescente NON è surgettiva. Controesempio: f(x) = exp(x).
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>f(f(x+f(y))+(-y))=f(f(x)))
<BR>x+f(y)+f(-y)=x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>La mancanza di una spiegazione comporta che potrei avere equivocato il passaggio, ma mi sembra di capire che passi dalla prima alla seconda usando f( f(x+f(y)) + -y ) =?= ff(x+f(y) + f(-y), ossia, scrivendolo meglio, f( A + B ) = f(A) + f(B). Questa proprietà si chiama linearità, e non è affatto detto che sia vera per la tua f(-).
<BR>
<BR>Ah, no. Ho capito. Il passaggio è corretto; questo è un modo molto brutto di scrivere una soluzione: il correttore ha l\'impressione che ci sia un errore anche dove è giusto. Una parola in più come ad esempio: \"utilizzo la formula (1) con x = Tizio e y = Caio\" avrebbe fugato i dubbi.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>f(x) è monotona decrescente e quindi anche x-f(x) è monotona decrescente
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A questo punto c\'è poco da salvare, ma ti sottolineo anche questo: se f(.) è decrescente, allora -f(.) è crescente e somma di roba crescente è crescente. Quindi x-f(x) è monotona crescente, semmai.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Quindi le uniche soluzioni sono f(x)=x e f(x)=-x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eccolo! Questo ti costa un punto netto. Hai dimostrato che le eventuali soluzioni possono essere solo +/-x. Dove hai dimostrato che sono effettivamente soluzioni?
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>quindi f(f(x))=xn+k per ogni k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Attenzione ai quantificatori logici: semmai, esiste k t.c. per ogni x. Detto in altri termini, f f(x) - x^n è costante.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>scegliamo f(y) e poi x tale che x+f(y)>1.
<BR>[...](x+f(y))n+k>xn+f(y)n+k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non ho capito il passaggio. Suppongo che sia utilizzato il Teo del Binomio. Anche qui, una parola in più non avrebbe guastato...
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Spero di non essermi dilungato troppo..
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, direi proprio di no..
<BR>
<BR>In sintesi: nel caso n=1 manca di dimostrare la surgettività, ma sono date due soluzioni (sono le uniche??). Peccato che non hai verificato che siano proprio soluzioni. Il caso difficile invece è risolto. Consiglio generale: non nego che tu ce l\'abbia avuto chiaro nella testa, ma cerca di dimostrare meglio: non c\'è niente di peggio di presentarsi alle gare con una soluzione comprensibile a sprazzi, infarcita di imprecisioni qui e là...
<BR>
<BR>Ciao. M.
<BR>
<BR>\"It\'s up to you how far you go /
<BR>If you don\'t try you\'ll never know /
<BR>And so my lad as I\'ve explained /
<BR>Nothing ventured, nothing gained.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 07-02-2005 11:42 ]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
-
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
Algebra 2.6<font color=\"white\">
<BR>Voglio dimostrare per induzione su n che 3a<sup>2</sup><sub>n</sub>+1 è un quadrato di un intero e che a<sub>n</sub> è un intero. Per n=1, la tesi è vera. Se la tesi è vera per n=k, allora:
<BR>3a<sup>2</sup><sub>k+1</sub>+1=
<BR>3(2a<sub>n</sub>+√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1))<sup>2</sup>+1=
<BR>3(4a<sup>2</sup><sub>k</sub>+3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1+4a<sub>k</sub>√(a<sup>2</sup><sub>k</sub>)=
<BR>21a<sup>2</sup><sub>k</sub>+4+12a<sub>k</sub>√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1)=
<BR>(3a<sub>k</sub>+2√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1))<sup>2</sup>
<BR>Per l\'ipotesi induttiva, la base è un intero e la prima proposizione è dimostrata. Per quanto riguarda la seconda proposizione se a<sub>k</sub> è un intero a<sub>k+1</sub> è una somma di interi per l\'ipotesi induttiva. Quindi si ha la tesi.</font>
<BR>Scusate i rimaneggiamenti, ma ci ho perso gli occhi a scriverla... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>Tra parentesi grazie Marco per il complimento<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">...
<BR>
<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal) <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 07-02-2005 14:33 ]
<BR>Voglio dimostrare per induzione su n che 3a<sup>2</sup><sub>n</sub>+1 è un quadrato di un intero e che a<sub>n</sub> è un intero. Per n=1, la tesi è vera. Se la tesi è vera per n=k, allora:
<BR>3a<sup>2</sup><sub>k+1</sub>+1=
<BR>3(2a<sub>n</sub>+√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1))<sup>2</sup>+1=
<BR>3(4a<sup>2</sup><sub>k</sub>+3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1+4a<sub>k</sub>√(a<sup>2</sup><sub>k</sub>)=
<BR>21a<sup>2</sup><sub>k</sub>+4+12a<sub>k</sub>√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1)=
<BR>(3a<sub>k</sub>+2√(3a<sup>2</sup><sub>k</sub>+1))<sup>2</sup>
<BR>Per l\'ipotesi induttiva, la base è un intero e la prima proposizione è dimostrata. Per quanto riguarda la seconda proposizione se a<sub>k</sub> è un intero a<sub>k+1</sub> è una somma di interi per l\'ipotesi induttiva. Quindi si ha la tesi.</font>
<BR>Scusate i rimaneggiamenti, ma ci ho perso gli occhi a scriverla... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>Tra parentesi grazie Marco per il complimento<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">...
<BR>
<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal) <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 07-02-2005 14:33 ]
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Commenti assortiti.
<BR>
<BR>@Igor e @Tutti:
<BR>Esercizio degli anagrammi C.2.3. Si può fare con entrambe le interpretazioni \"La C sia seguita dalla A\":
<BR>
<BR>Es. C.2.3.a
<BR>- nel senso di \"la lettera immediatamente successiva alla C è la A\"
<BR>
<BR>Es. C.2.3.b
<BR>- nel senso di \"la A segue la C\" (potrebbero esserci altre lettere in mezzo)
<BR>
<BR>
<BR>@Sisifo (pb. dei trimini C.4.5)
<BR>La dimostrazione non fa una grinza, ma commetti un clamorosissimo autogol quando dici: \"Per q=0 la tesi è palesemente falsa\".
<BR>
<BR>La tesi è assolutamentissimamente VERA: hai una scacchiera 1x1, a cui devi togliere una casella a caso, e che devi ricoprire con le L. Se togli l\'unica casella, ottieni un insieme vuoto da tassellare, che è tassellabile con zero trimini. A riprova, la tua costruzione del passo induttivo funziona anche con q = 1.
<BR>
<BR>@Poli (pb. A.2.3)
<BR>L\'obiezione di Igor è assolutamente fondata. Hai coperto il caso n = dispari, ma non hai speso una parola per il caso n = pari...
<BR>
<BR>@Hammond (pb. C.1.2)
<BR>\"solo che non so a cosa possa servire...\". Può servire a trovare un\'interessante soluzione alternativa, senza binomiali.
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
<BR>
<BR>@Igor e @Tutti:
<BR>Esercizio degli anagrammi C.2.3. Si può fare con entrambe le interpretazioni \"La C sia seguita dalla A\":
<BR>
<BR>Es. C.2.3.a
<BR>- nel senso di \"la lettera immediatamente successiva alla C è la A\"
<BR>
<BR>Es. C.2.3.b
<BR>- nel senso di \"la A segue la C\" (potrebbero esserci altre lettere in mezzo)
<BR>
<BR>
<BR>@Sisifo (pb. dei trimini C.4.5)
<BR>La dimostrazione non fa una grinza, ma commetti un clamorosissimo autogol quando dici: \"Per q=0 la tesi è palesemente falsa\".
<BR>
<BR>La tesi è assolutamentissimamente VERA: hai una scacchiera 1x1, a cui devi togliere una casella a caso, e che devi ricoprire con le L. Se togli l\'unica casella, ottieni un insieme vuoto da tassellare, che è tassellabile con zero trimini. A riprova, la tua costruzione del passo induttivo funziona anche con q = 1.
<BR>
<BR>@Poli (pb. A.2.3)
<BR>L\'obiezione di Igor è assolutamente fondata. Hai coperto il caso n = dispari, ma non hai speso una parola per il caso n = pari...
<BR>
<BR>@Hammond (pb. C.1.2)
<BR>\"solo che non so a cosa possa servire...\". Può servire a trovare un\'interessante soluzione alternativa, senza binomiali.
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Algebra Sezione 2 Esercizio 3.
<BR>Completo la soluzione di poliwhirl:
<BR>La media aritmetica della progressione è (a.1+a.n)/2.
<BR>Prendiamo ora tre termini qualsiasi della successione e calcoliamo la loro media aritmetica.
<BR>M=(a.1+m*R+a.1+n*R+a.1+s*R)/3
<BR>dove R è la costante della successione e m,n,s sono interi positivi.
<BR>Possiamo riscrivere la formula appena trovata in questo modo:
<BR>M = a.1+K*R/3 dove K = m+n+s.
<BR>Uguagliamo ora questa espressione alla media della successione:
<BR>a.1+K*R/3=(a.1+a.n)/2
<BR>a.1+K*R/3=(a.1+a.1+(n-1)R)/2
<BR>a.1+K*R/3=a.1+(n-1)*R/2
<BR>2K=3(n-1).
<BR>Ora, poichè il primo membro è sempre pari, anche il secondo deve esserlo e
<BR>quindi n-1 deve essere pari, cioè n è dispari.
<BR>D\'altro canto, è stato già dimostrato che ogni successione con un numero dispari di termini verifica le ipotesi del problema.
<BR>
<BR>Completo la soluzione di poliwhirl:
<BR>La media aritmetica della progressione è (a.1+a.n)/2.
<BR>Prendiamo ora tre termini qualsiasi della successione e calcoliamo la loro media aritmetica.
<BR>M=(a.1+m*R+a.1+n*R+a.1+s*R)/3
<BR>dove R è la costante della successione e m,n,s sono interi positivi.
<BR>Possiamo riscrivere la formula appena trovata in questo modo:
<BR>M = a.1+K*R/3 dove K = m+n+s.
<BR>Uguagliamo ora questa espressione alla media della successione:
<BR>a.1+K*R/3=(a.1+a.n)/2
<BR>a.1+K*R/3=(a.1+a.1+(n-1)R)/2
<BR>a.1+K*R/3=a.1+(n-1)*R/2
<BR>2K=3(n-1).
<BR>Ora, poichè il primo membro è sempre pari, anche il secondo deve esserlo e
<BR>quindi n-1 deve essere pari, cioè n è dispari.
<BR>D\'altro canto, è stato già dimostrato che ogni successione con un numero dispari di termini verifica le ipotesi del problema.
<BR>
- enomis_costa88
- Messaggi: 537
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Brescia
altre soluzioni da sottoporre al rigido(e impeccabile..) controllo di Marco..e ora che ho visto la mole di imprecisioni fatte inizierò subito a correggere i vecchi..
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>sezione numero3 2)se b>=a allora x>y>z
<BR>ponendo y=z si ha a=3/2b
<BR>x=z: a=5/3b
<BR>x=y: a=2b.
<BR>Da ciò si ricava che per a<3/2b x>y>z. per 5/3b>a>3/2b x>z>y.2b>a>5/3b implica che z>x>y e in ultimo caso se a>2b z>y>x(non ho fatto accenno alle uguaglianze in quanto sono esposte sopra).
<BR>3) entrambi i membri sono sicuramente positivi(x>=1…quindi anche a positiva) elevando si ha x^2-ax+a=<0. il termine di secondo grado ha segno discorde con il verso quindi l’intervallo soluzione sarà interno. Perché la soluzione sia solo una i due zeri del polinomio devono essere coincidenti:
<BR>x^2-(2x1)x+x1^2=<0 da cui 2x1=x1^2. l’unico valore per cui ciò è possibile è a=2.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 09-02-2005 20:42 ]
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>sezione numero3 2)se b>=a allora x>y>z
<BR>ponendo y=z si ha a=3/2b
<BR>x=z: a=5/3b
<BR>x=y: a=2b.
<BR>Da ciò si ricava che per a<3/2b x>y>z. per 5/3b>a>3/2b x>z>y.2b>a>5/3b implica che z>x>y e in ultimo caso se a>2b z>y>x(non ho fatto accenno alle uguaglianze in quanto sono esposte sopra).
<BR>3) entrambi i membri sono sicuramente positivi(x>=1…quindi anche a positiva) elevando si ha x^2-ax+a=<0. il termine di secondo grado ha segno discorde con il verso quindi l’intervallo soluzione sarà interno. Perché la soluzione sia solo una i due zeri del polinomio devono essere coincidenti:
<BR>x^2-(2x1)x+x1^2=<0 da cui 2x1=x1^2. l’unico valore per cui ciò è possibile è a=2.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 09-02-2005 20:42 ]
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"
Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.
Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.
Combinatoria Sezione 3 Esercizio 1:
<BR>
<BR>Se si prende il vaccino e si vive in campagna, la probabilità di prendere l\'influenza è data da :
<BR>P = (1-P.V)*(1-P.C) dove P.V è la probabilità di evitare l\'influenza se si prende il vaccino e P.C è la probabilità evitare l\'influenza se si vive in campagna.Abbiamo dunque:
<BR>P =(1-95/100)*(1-25/100)=0.0375
<BR>La probabilità di evitare l\'influenza è dunque (1 - P)=0.9625, cioè una probabilità del 96.25%.
<BR>
<BR>Sezione 3 Esercizio 2
<BR>Se lanciando il primo dado esce il colore presente solo su una faccia,il che avviene con probabilità 1/6,anche lanciando il secondo dado dobbiamo avere lo stesso risultato, la probabilità che da entrambi i lanci si ottenga questo colore è dunque 1/6*1/6.
<BR>Allo stesso modo,la probabilità che su entrambi i lanci esca il colore presente su due faccie è 1/3*1/3, mentre quella che esca il colore presente su tre faccie è 1/2*1/2.
<BR>La probabilità totale è dunque:
<BR>1/36+1/9+1/4=7/18
<BR>
<BR>Se si prende il vaccino e si vive in campagna, la probabilità di prendere l\'influenza è data da :
<BR>P = (1-P.V)*(1-P.C) dove P.V è la probabilità di evitare l\'influenza se si prende il vaccino e P.C è la probabilità evitare l\'influenza se si vive in campagna.Abbiamo dunque:
<BR>P =(1-95/100)*(1-25/100)=0.0375
<BR>La probabilità di evitare l\'influenza è dunque (1 - P)=0.9625, cioè una probabilità del 96.25%.
<BR>
<BR>Sezione 3 Esercizio 2
<BR>Se lanciando il primo dado esce il colore presente solo su una faccia,il che avviene con probabilità 1/6,anche lanciando il secondo dado dobbiamo avere lo stesso risultato, la probabilità che da entrambi i lanci si ottenga questo colore è dunque 1/6*1/6.
<BR>Allo stesso modo,la probabilità che su entrambi i lanci esca il colore presente su due faccie è 1/3*1/3, mentre quella che esca il colore presente su tre faccie è 1/2*1/2.
<BR>La probabilità totale è dunque:
<BR>1/36+1/9+1/4=7/18
Ancora un po\' di combinatoria.
<BR>
<BR>1.3) In quanti modi differenti si possono disporre i numeri da 1 a 6 in una sequenza ordinata a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>, ... ,a<sub>6</sub> in modo che si abbia a<sub>i</sub> =< i+2 per i = 1,2,...,6?
<BR><font color=white> a<sub>1</sub> può valere 1,2 o 3; a<sub>2</sub> può valere 1,2,3 o 4, ma uno di questi è sicuramente già stato inserito come primo termine della sequenza, per cui rimangono tre possibili scelte; stesso discorso per a<sub>3</sub> (5 possibilità di cui 2 già usate) e per a<sub>4</sub> (6 e 3). Per a<sub>5</sub> rimane da scegliere tra due numeri, e chiaramente a<sub>6</sub> è obbligato. Il numero di combinazioni possibili dunque è dato da 3*3*3*3*2 = 162.</font>
<BR>
<BR>2.1) Calcolare la somma dei numeri minori di 1000 e relativamente primi con esso.
<BR><font color=white>(Soluzione alternativa, che tuttavia non mi pare né più semplice né più elegante di quella di Igor).
<BR>Poiché 1000 = 2<sup>3</sup>*5<sup>3</sup>, i numeri primi con esso sono quelli non divisibili né per 2 né per 5. In ogni decina, tali numeri sono quelli che finiscono con le cifre 1,3,7,9. Scriviamo la loro somma totale in questo modo:
<BR>1 + 11 + 21 + … + (10n+1)
<BR>3 + 13 + 23 + … + (10n+3)
<BR>7 + 17 + 27 + … + (10n+7)
<BR>9 + 19 + 29 + … + (10n+9)
<BR>---------------
<BR>20+60+100 + … + (40n+20)
<BR>
<BR>dove n arriva fino a 99.
<BR>La somma totale è data da 40(n*(n+1))/2 + 20(n+1) ==> 20*99*100 + 20*100 ;
<BR>Oppure si può usare la formula per i primi 100 termini della serie aritmetica di ragione 40 e a<sub>1</sub>=20, ossia 100*(20+40*100-20)/2;
<BR>In ogni caso il risultato è 200000.</font>
<BR>
<BR>2.3) Quanti sono i possibili anagrammi della parola LICEALI tali che la C sia seguita dalla A?
<BR>Versione 1: A immediatamente successiva a C.
<BR><font color=white>Ci sono 6 modi diversi di posizionare il gruppo CA nell’anagramma; per ognuno di essi restano da posizionare le lettere rimanenti, il che equivale a fare gli anagrammi della parola LIELI: questi sono 5! / (2!*2!) = 30. In totale gli anagrammi cercati sono 180. </font>
<BR>Versione 2: A genericamente successivo a C.
<BR><font color=white>Se C occupa la prima posizione abbiamo 6 possibili posizioni per A, con C al secondo posto ce ne sono 5, … , se C è la sesta lettera c’è una sola possibilità per A: in totale risultano 21 modi di disporre in maniera accettabile C e A nell’anagramma. Anche qui, per ognuno di essi ci sono 30 diversi anagrammi della parola LIELI, quindi in totale gli anagrammi cercati sono 630.
<BR>
<BR>N.B: Ho usato la formula per gli anagrammi con lettere ripetute senza dimostrarla, se ciò fosse necessario vedere la sol. al 2.4).</font>
<BR>
<BR>2.4) Quanti sono i numeri di 10 cifre in cui la cifra 1 compare esattamente una volta, la cifra 2 esattamente due volte, la cifra 3 esattamente tre volte e la cifra 4 esattamente quattro volte?
<BR><font color=white>Ci sono 10! permutazioni delle cifre, ma bisogna contare una sola volta le ripetizioni: per uno stesso numero infatti ci sono 4! modi di disporre i suoi quattro 4, combinati a 3! modi di disporre i tre 3 e a 2! modi di disporre i due 2. Pertanto, i numeri cercati sono 10! / (4!*3!*2!) = 12600. <DIV style=font-size:1pt><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 07-02-2005 22:07 ]
<BR>
<BR>1.3) In quanti modi differenti si possono disporre i numeri da 1 a 6 in una sequenza ordinata a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>, ... ,a<sub>6</sub> in modo che si abbia a<sub>i</sub> =< i+2 per i = 1,2,...,6?
<BR><font color=white> a<sub>1</sub> può valere 1,2 o 3; a<sub>2</sub> può valere 1,2,3 o 4, ma uno di questi è sicuramente già stato inserito come primo termine della sequenza, per cui rimangono tre possibili scelte; stesso discorso per a<sub>3</sub> (5 possibilità di cui 2 già usate) e per a<sub>4</sub> (6 e 3). Per a<sub>5</sub> rimane da scegliere tra due numeri, e chiaramente a<sub>6</sub> è obbligato. Il numero di combinazioni possibili dunque è dato da 3*3*3*3*2 = 162.</font>
<BR>
<BR>2.1) Calcolare la somma dei numeri minori di 1000 e relativamente primi con esso.
<BR><font color=white>(Soluzione alternativa, che tuttavia non mi pare né più semplice né più elegante di quella di Igor).
<BR>Poiché 1000 = 2<sup>3</sup>*5<sup>3</sup>, i numeri primi con esso sono quelli non divisibili né per 2 né per 5. In ogni decina, tali numeri sono quelli che finiscono con le cifre 1,3,7,9. Scriviamo la loro somma totale in questo modo:
<BR>1 + 11 + 21 + … + (10n+1)
<BR>3 + 13 + 23 + … + (10n+3)
<BR>7 + 17 + 27 + … + (10n+7)
<BR>9 + 19 + 29 + … + (10n+9)
<BR>---------------
<BR>20+60+100 + … + (40n+20)
<BR>
<BR>dove n arriva fino a 99.
<BR>La somma totale è data da 40(n*(n+1))/2 + 20(n+1) ==> 20*99*100 + 20*100 ;
<BR>Oppure si può usare la formula per i primi 100 termini della serie aritmetica di ragione 40 e a<sub>1</sub>=20, ossia 100*(20+40*100-20)/2;
<BR>In ogni caso il risultato è 200000.</font>
<BR>
<BR>2.3) Quanti sono i possibili anagrammi della parola LICEALI tali che la C sia seguita dalla A?
<BR>Versione 1: A immediatamente successiva a C.
<BR><font color=white>Ci sono 6 modi diversi di posizionare il gruppo CA nell’anagramma; per ognuno di essi restano da posizionare le lettere rimanenti, il che equivale a fare gli anagrammi della parola LIELI: questi sono 5! / (2!*2!) = 30. In totale gli anagrammi cercati sono 180. </font>
<BR>Versione 2: A genericamente successivo a C.
<BR><font color=white>Se C occupa la prima posizione abbiamo 6 possibili posizioni per A, con C al secondo posto ce ne sono 5, … , se C è la sesta lettera c’è una sola possibilità per A: in totale risultano 21 modi di disporre in maniera accettabile C e A nell’anagramma. Anche qui, per ognuno di essi ci sono 30 diversi anagrammi della parola LIELI, quindi in totale gli anagrammi cercati sono 630.
<BR>
<BR>N.B: Ho usato la formula per gli anagrammi con lettere ripetute senza dimostrarla, se ciò fosse necessario vedere la sol. al 2.4).</font>
<BR>
<BR>2.4) Quanti sono i numeri di 10 cifre in cui la cifra 1 compare esattamente una volta, la cifra 2 esattamente due volte, la cifra 3 esattamente tre volte e la cifra 4 esattamente quattro volte?
<BR><font color=white>Ci sono 10! permutazioni delle cifre, ma bisogna contare una sola volta le ripetizioni: per uno stesso numero infatti ci sono 4! modi di disporre i suoi quattro 4, combinati a 3! modi di disporre i tre 3 e a 2! modi di disporre i due 2. Pertanto, i numeri cercati sono 10! / (4!*3!*2!) = 12600. <DIV style=font-size:1pt><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 07-02-2005 22:07 ]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-08 12:42, Boll wrote:
<BR>e non avei la previdenza di scaricarlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>
<BR>EDIT: Corretto orrore grammaticale
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 08-02-2005 12:43 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Uhm ... avei ??
<BR>On 2005-02-08 12:42, Boll wrote:
<BR>e non avei la previdenza di scaricarlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>
<BR>EDIT: Corretto orrore grammaticale
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 08-02-2005 12:43 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Uhm ... avei ??
Commenti delle correzioni di iersera.
<BR>
<BR>@Mathomico, Boll, Enomis (pb. A.1.7)
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>una <!-- BBCode Start --><B>permutazione</B><!-- BBCode End --> qualsiasi dell\'insieme dato</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ecco, la parola magica che vale due punti!
<BR>
<BR>Vi voglio spiegare bene le motivazioni per cui finora avevo dato 5 e solo all\'ultima di Boll ho potuto dare 7.
<BR>
<BR>Tutte e tre le dimostrazioni (M., E. e B.1.0) arrivavano a dire \"i tre fattori sono -3, -1, 1\". Ok. Questo valeva i cinque punti. Che cosa mancava? Mancava di provare che i tre fattori non si potessero scambiare di posto. Sono il primo a dire che è una cavolata (basta, ad esempio, mettere in ordine crescente i tre fattori; cambiando m con n l\'ordine non cambia, ecc...). Ma se rileggete bene le vostre dimos, non c\'è uno solo di voi tre che abbia minimamente accennato al fatto che i tre fattori potessero essere scambiati di posto.
<BR>
<BR>Boll.1.1 ha preso i sette punti, ma <!-- BBCode Start --><I>non</I><!-- BBCode End --> per il cappellotto teorico iniziale. Esso, per quanto apprezzabile e corretto, è dato per scontato e non serve dimostrarlo, quindi non dà punti aggiuntivi (al massimo potrà valere un \"+\"; un \"1\" per premiare lo sforzo, se fosse l\'unica cosa scritta...). I due punti, come detto, arrivano dall\'aver considerato il caso dei fattori scambiati di posto e averlo esplicitamente escluso.
<BR>
<BR>@Simo t. W. (pb. A.3.8*)
<BR>La leggibilità è decisamente molto, molto, migliorata.
<BR>
<BR>Attenzione al punto delicato (l\'asterisco). A parte che i maggiori/minori ti hanno mangiato un po\' di simboli [consiglio: inserisci sempre uno spazio attorno a < e >, altrimenti il parser malinterpreta], c\'è ancora qualcosina che non va.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>essendo crescente dovrebbe esserci un numero reale r tale che r < f(x)+x per ogni x in R e/o un reale s t.c. s > f(x)+x per ogni x in R.</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Credo che stai utilizzando il seguente
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma??</B><!-- BBCode End --> Una funzione R -- > R monotona, non surgettiva è necessariamente limitata.
<BR>
<BR>Falso! Controesempio: f(x) = x + sign(x). E crescente, non limitata, ma non prende mai il valore 1/2.
<BR>
<BR>Il lemma dell\'(*) è un lemma vero, ma la dimostrazione è fallace. Quindi direi, 3 punti per il caso <!-- BBCode Start --><I>n > 1</I><!-- BBCode End -->, 1 punto per la verifica delle soluzioni, 1 punto per aver concluso (modulo il lemma). Cinque punti.
<BR>
<BR>@Igor (pb. A.2.3)
<BR>Bene. Unica sbavatura: \"sono interi positivi\". In verità, positivi o nulli. Ricordo a tutti che 0 non è positivo, ma neanche negativo. Se volete dire a parole \" >= 0\" dite \"non negativi\". Faccio inoltre notare che ad un certo punto dividi per R. Lo puoi fare, dato che vale l\'ipotesi che la successione è crescente (il che è, se e solo se R > 0). Per la cronaca, mi pare che questo fosse uno dei dimostrativi della Gara di Primo Livello quando ho partecipato io.
<BR>
<BR>@Enomis
<BR>Grazie per l\'impeccabile (cerco di fare del mio meglio...); per il rigido, la cosa è voluta: in fin dei conti questo è un allenamento ed è meglio imparare ad evitare gli errori standard qui, che non in gara. Poi, magari, in gara i correttori sono più di manica larga (cosa che vi auguro: mi do fastidio da solo, a fare così il fiscale), ma è senz\'altro una buona idea non offire loro pretesti per levare dei punti. E te lo dice uno che è stato specialista a gettare al vento punti già vinti.
<BR>
<BR>@E.G.
<BR>Ebbene sì, egli avette...
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
<BR>
<BR>@Mathomico, Boll, Enomis (pb. A.1.7)
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>una <!-- BBCode Start --><B>permutazione</B><!-- BBCode End --> qualsiasi dell\'insieme dato</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ecco, la parola magica che vale due punti!
<BR>
<BR>Vi voglio spiegare bene le motivazioni per cui finora avevo dato 5 e solo all\'ultima di Boll ho potuto dare 7.
<BR>
<BR>Tutte e tre le dimostrazioni (M., E. e B.1.0) arrivavano a dire \"i tre fattori sono -3, -1, 1\". Ok. Questo valeva i cinque punti. Che cosa mancava? Mancava di provare che i tre fattori non si potessero scambiare di posto. Sono il primo a dire che è una cavolata (basta, ad esempio, mettere in ordine crescente i tre fattori; cambiando m con n l\'ordine non cambia, ecc...). Ma se rileggete bene le vostre dimos, non c\'è uno solo di voi tre che abbia minimamente accennato al fatto che i tre fattori potessero essere scambiati di posto.
<BR>
<BR>Boll.1.1 ha preso i sette punti, ma <!-- BBCode Start --><I>non</I><!-- BBCode End --> per il cappellotto teorico iniziale. Esso, per quanto apprezzabile e corretto, è dato per scontato e non serve dimostrarlo, quindi non dà punti aggiuntivi (al massimo potrà valere un \"+\"; un \"1\" per premiare lo sforzo, se fosse l\'unica cosa scritta...). I due punti, come detto, arrivano dall\'aver considerato il caso dei fattori scambiati di posto e averlo esplicitamente escluso.
<BR>
<BR>@Simo t. W. (pb. A.3.8*)
<BR>La leggibilità è decisamente molto, molto, migliorata.
<BR>
<BR>Attenzione al punto delicato (l\'asterisco). A parte che i maggiori/minori ti hanno mangiato un po\' di simboli [consiglio: inserisci sempre uno spazio attorno a < e >, altrimenti il parser malinterpreta], c\'è ancora qualcosina che non va.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>essendo crescente dovrebbe esserci un numero reale r tale che r < f(x)+x per ogni x in R e/o un reale s t.c. s > f(x)+x per ogni x in R.</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Credo che stai utilizzando il seguente
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma??</B><!-- BBCode End --> Una funzione R -- > R monotona, non surgettiva è necessariamente limitata.
<BR>
<BR>Falso! Controesempio: f(x) = x + sign(x). E crescente, non limitata, ma non prende mai il valore 1/2.
<BR>
<BR>Il lemma dell\'(*) è un lemma vero, ma la dimostrazione è fallace. Quindi direi, 3 punti per il caso <!-- BBCode Start --><I>n > 1</I><!-- BBCode End -->, 1 punto per la verifica delle soluzioni, 1 punto per aver concluso (modulo il lemma). Cinque punti.
<BR>
<BR>@Igor (pb. A.2.3)
<BR>Bene. Unica sbavatura: \"sono interi positivi\". In verità, positivi o nulli. Ricordo a tutti che 0 non è positivo, ma neanche negativo. Se volete dire a parole \" >= 0\" dite \"non negativi\". Faccio inoltre notare che ad un certo punto dividi per R. Lo puoi fare, dato che vale l\'ipotesi che la successione è crescente (il che è, se e solo se R > 0). Per la cronaca, mi pare che questo fosse uno dei dimostrativi della Gara di Primo Livello quando ho partecipato io.
<BR>
<BR>@Enomis
<BR>Grazie per l\'impeccabile (cerco di fare del mio meglio...); per il rigido, la cosa è voluta: in fin dei conti questo è un allenamento ed è meglio imparare ad evitare gli errori standard qui, che non in gara. Poi, magari, in gara i correttori sono più di manica larga (cosa che vi auguro: mi do fastidio da solo, a fare così il fiscale), ma è senz\'altro una buona idea non offire loro pretesti per levare dei punti. E te lo dice uno che è stato specialista a gettare al vento punti già vinti.
<BR>
<BR>@E.G.
<BR>Ebbene sì, egli avette...
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Sempre sui polinomi, proviamo il 2.7
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>Come noto P(0) è il termine noto del nostro polinomio, ed è dispari. P(1) è la somma algebrica dei coefficenti, ed è dispari. Se ne ricava che la somma dei coefficenti, tolto il termine noto, è pari. Ora, per Viete, avremo che +-prod(r<sub>i</sub>)/a<sub>1</sub> è un dispari diviso un intero, dove {r} sono le radici del polinomio e {a} i coefficenti, contati da sinistra a destra. Quindi se r è intero è per forza dispari, perchè se fosse pari significherebbe che c\'è almeno un fattore 2 nell\'espressione precedente a numeratore, ma ciò è falso per ipotesi. Ora se r è una radice dispari dovrà valere a<sub>1</sub>+...+a<sub>n</sub>==0 mod 2, sfruttando proprietà delle congruenze e il fatto che se r è radice P(r)=0, ma ciò è assurdo perchè nelle ipotesi è riportato che la somma algebrica dei coefficenti è dispari.
<BR>
<BR>EDIT: Corrette un pò di cosucce, cmq non era poi così malaccio, bah, pignoleria... cmq giustificata <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-02-2005 19:12 ]
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>Come noto P(0) è il termine noto del nostro polinomio, ed è dispari. P(1) è la somma algebrica dei coefficenti, ed è dispari. Se ne ricava che la somma dei coefficenti, tolto il termine noto, è pari. Ora, per Viete, avremo che +-prod(r<sub>i</sub>)/a<sub>1</sub> è un dispari diviso un intero, dove {r} sono le radici del polinomio e {a} i coefficenti, contati da sinistra a destra. Quindi se r è intero è per forza dispari, perchè se fosse pari significherebbe che c\'è almeno un fattore 2 nell\'espressione precedente a numeratore, ma ciò è falso per ipotesi. Ora se r è una radice dispari dovrà valere a<sub>1</sub>+...+a<sub>n</sub>==0 mod 2, sfruttando proprietà delle congruenze e il fatto che se r è radice P(r)=0, ma ciò è assurdo perchè nelle ipotesi è riportato che la somma algebrica dei coefficenti è dispari.
<BR>
<BR>EDIT: Corrette un pò di cosucce, cmq non era poi così malaccio, bah, pignoleria... cmq giustificata <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-02-2005 19:12 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)