Problemino milanese

[Simo_the_wolf]

Io ho una soluzione un po' arificiosa ma è la più sintetica che ho trovato...
Per ogni triangolo isoscele con i lati obliqui più lunghi della base definiamo una funzione $ f(\alpha)=\frac{\alpha}{\beta} $. Ovviamente $ f(\alpha_1)=f(\alpha_2) \rightarrow \alpha_1=\alpha_2 $. Prendiamo il triangolo tale che $ f(\alpha)=2 $ cioè t.c. $ \alpha=2\beta $. Vogliamo dimostrare che questo è il triangolo è quello cercato. Chiamiamo H il piede dell'altezza relativa a BC.Per il teorema dei seni applicato ai triangoli DAB e AHB otteniamo:
$ \displaystyle \frac{\sin(\beta)}{\overline{AD}}=\frac{\sin(\pi-3\beta)}{\overline{AB}} $
$ \displaystyle \frac{\sin(\beta)}{\overline{CD}}=\frac{\sin(\frac{\pi}2)}{\overline{AB}} $
Ma sappiamo che $ \overline{AD}=2\overline{CD} $. Sostituendo troviamo: $ \sin(3\beta)=\frac 12 $ e quindi $ \alpha=2\beta=\frac 29 \pi $. L'ultimo passaggio è ovviamente con tutte le restrizioni del caso ( $ \alpha < \frac {\pi}3 $)

[Hammond]

Qualcuno ha trovato una soluzione senza trigonometria? Io non ci ho cavato un ragno dal buco... mi sto arrendendo, ma se qualcuno mi assicura che si può fare...
E, per curiosità, nel caso non ci fosse una soluzione senza trig. si potrebbe provare il fatto che non c'è?

[Boll]

Bah, forse non c'è... Quei problemi di solito mirano a farti fare tanti tanti tanti conti più che trovare una soluzione elementare, quindi può essere benissimo che questa non ci sia...

[Arbak87]

Non penso sia un esercizio "calcoloso" anche perchè finora hanno sempre proposto esercizi con soluzioni in geometria sintetica!!

Sono curiosa di vedere la soluzione che propongono stavolta!!!

Aspetto con ansia venerdi...

[AlessandroSfigato]

lol guarda che l'ha proposto boll e secondo lui nn ci sono soluzioni senza trigonometria

[Boll]

Mi fa piacere, Alessandro, che tu mi consideri così fenomenale da sapere se esiste o no una soluzione elementare a un problema, ma non è così :D Io l'ho proposto appunto per vedere se qualcuno riusciva a trovarla...

@Arbak. [Piccola parentesi OT]: Sei per caso Mara, che era a Caldè e perse rovinosamente (insieme ad alcuni altri forumisti, vero ma_go???) a briscola in 5?:D:P[/Piccola parentesi OT]
Mah, di solito le soluzioni delle UNIMI non è che siano poi tanto elementari, il limitazzo della seconda ad esempio... Quest'ultima poi mi pareva mooolto contosa, o almeno lo erano le nostre soluzioni, ma potremmo aver preso granchi :D

[Arbak87]

Anche la nostra era piuttosto "contosa", altrimenti non avrei scritto che l'unica soluzione che ho trovato è quella trigonometrica, ma sono convinta che ci sia un'elegante dimostrazione in geometria sintetica!!!!
Peccato che non sia ancora riuscita a trovarla!!!

PS per Boll: Ecco....
.............sì..........
.........a dire il vero sono proprio io !!!!

Ma a mia discolpa posso dire che di solito a briscolone l'asta non la faccio sui punti ma sulle figure e sui numeri!!!

Ti ho riconosciuto alle gare individuali a Milano ma non ti ho salutato perchè non pensavo che mi avresti riconosciuto.