OliForum Matematico

OK spero di inaugurare questa sotto-sezione(se così si può definire)di questo sito stupendo con un problema almeno lontanamente decente che ho risolto allenandomi per febbraio..
Problema: Si scelgano a caso 3 vertici di un poligono regolare di 2n+1 lati. Con quale probabilità il centro del poligono è interno al triangolo formato dai tre vertici???

Curiosità: il problema è stato dato all'esame di ammissione SNS nel 2002.

Giusto per fare il rompiscatole, il problema va benissimo; magari un titolo più azzeccato...

Per comodita' studio i casi in cui il centro e' fuori dal triangolo. Visto che esso puo' essere o dentro o fuori e non ci sono altre possibilita', la probabilita' richiesta sara' uguale a 1 - P(centro fuori).

Scegliamo il primo vertice: abbiamo $ 2n + 1 $ modi per sceglierlo. Gli altri due vertici dovranno essere nello stesso semipiano dei due formati dalla congiungente tra il primo vertice ed il centro: si puo' scegliere il semipiano in 2 modi e poi in due punti in $ {n \choose 2} = \frac{n*(n-1)}{2} $ modi.
Pero', il triangolo che otteniamo cosi', si sarebbe potuto ottenere anche partendo da un altro dei suoi vertici (uno solo), ovvero l'altro vertice per cui il triangolo e' in un solo semipiano rispetto alla congiungente tra centro e tale vertice. Quindi dobbiamo dividere per due i casi trovati fino a qui.
Ricapitolando i casi favorevoli sono $ (2n+1)*2*\frac{n*(n-1)}{2}*\frac{1}{2} $.
I casi possibili sono invece $ 2n+1 \choose 3 $.

La probabilita' richiesta era la complementare, quindi
$ 1 - \frac{3(n-1)}{2(2n-1)} = \frac{n+1}{2(2n-1)} $

Mi pare giusto, ma lo hai detto un po' male, I dare say... Ti manca di dimostrare questo

Lemma: Un triangolo con i vertici su quelli di un disparigono regolare, non contiene il centro del disparigono sse esistono due e solo due vertici del triangolo per cui la retta congiungente il vertice con il centro non taglia il triangolo.