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Individuare la probabilita' che, lanciando n volte un dado a sei facce, la somma dei punteggi ottenuti sia un multiplo di 7.

Essendo $ n\in\mathbb{N}_0 $, sia $ s_n $ la somma dei punteggi totalizzati in $ n $ lanci consecutivi del dado. Se il dado è standard e non è inoltre truccato, $ s_n $ assume con equiprobabilità ogni valore intero nell'intervallo $ J_n := [n, 6n] $, per un totale di $ 5n+1 $ valori possibili.

Se $ P_n $ è dunque la probabilità di cui si chiede nella traccia del quesito: $ \displaystyle{P_n = \frac{d_{n,7}}{5n+1}} $, ove $ d_{n,7} $ è il numero degli interi nell'intervallo $ J_n $ che sono divisibili per $ 7 $. Banalmente: $ d_{n,7} = \left\lfloor\frac{6n}{7}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n}{7}\right\rfloor + \delta(n\;\!\bmod 7) $, avendo assunto per semplicità di scrittura $ \delta(k) := \left\{\begin{array}\ 1\quad\mbox{se }k=0\\0\quad\mbox{se }k\neq 0\end{array}\right.\ \ $, con $ k\in\mathbb{Z} $.

A questo punto, una domanda al proponente... Ammesso di non aver preso una cantonata coi fiocchi, ti risulta che quella robaccia si possa semplificare in qualche modo, onde poterne presentare il risultato finale in una forma esteticamente meno sgradevole?!?

HiTLeuLeR ha scritto:A questo punto, una domanda al proponente... Ammesso di non aver preso una cantonata coi fiocchi, ti risulta che quella robaccia si possa semplificare in qualche modo, onde poterne presentare il risultato finale in una forma esteticamente meno sgradevole?!?

Sì, si può attaccare in modo mooolto meno brutale...

direi anch'io

su, qualcuno si rimbocchi le maniche...

basta "ricorrere" un po'

Boh... Di norma ci si riserva di definire "brutale" una soluzione che si riveli particolarmente contosa... E' questo il caso?!? Vada come vada, sottolineo che la mia domanda riguardava la scrittura finale della soluzione, non il metodo... Resto in linea, a questo punto sono curiosissimo!

ok, rispondo:

il risultato finale si scrive in una forma parecchio più gradevole di quella che hai ottenuto tu (se mi ricordo bene), e non so se la tua formula si possa manipolare per trasformarla nell'altra

Hola gente!
Ho un'ideuzza...sia $ x_n $ la probabilità che l'evento si verifichi dopo $ n $ lanci, notiamo ora che:
$ x_n=\frac{1}{6} * y_n $con $ y_n $ la probabilità che dopo$ n-1 $ lanci la somma ottenuta non sia divisibile per$ 7 $, segue quindi che $ y_n=1-x_{n-1} $, sostituendo abbiamo:
$ \left\{\begin{array}{rl}x_n=\frac{1}{6}*(1-x_{n-1})\\ x_2=\frac{1}{6}\end{array}\right. $

Ora se non ho sbagliato i conti, sciogliendo la ricorrenza otteniamo:
$ x_n={\frac{6*(\frac{-1}{6})^n}{7}+\frac{1}{7}} $
che è la probabilità cercata...
Notiamo che se $ n $ tende all'infinito la probabilità è $ \frac{1}{7} $ come già annunciato da DB85
Spero sia giusto...

Ciao alla prossima

Ottimo, Pixel!
Adesso postaci i biechi conti per completezza, ma comunque l'idea dovrebbe essere quella buona.

Giustissimo: anch'io ho risolto il problema nel tuo stesso modo, quest'estate. Se non ricordo male lo presi dalle prove S.S.S.U.P.
Tra l'altro la sequenza è superiormente limitata e si verifica facilmente che la probabilità asintotica è 1/7.

P.S.: Complimenti per il nuovo forum!

Uhmmm... Premesso che la combinatorica e il calcolo delle probabilità non sono il mio forte, vi dirò: sono un po' perplesso!!! La formula "finale" dedotta da Pixel differisce alquanto, nei risultati ch'essa prevede, dall'altra (orrendamente sgradevole) ch'io stesso, poco sopra, avevo suggerito. Già per $ n = 2 $, per esempio, risulta che la probabilità calcolata con il metodo "conta e quozienta" , i.e. l'approccio "brutale" adottato da quest'infelice, vale $ P_2 = \frac{1}{11} $, ed è perfettamente consistenza con le "evidenze sperimentali", ché infatti con due lanci del dado si possono totalizzare tutti i punteggi dell'11-insieme $ \{2, 3, ..., 11, 12\} $, e di questi uno e uno solo è divisibile per $ 7 $. Viceversa, la stessa (?!?) probabilità calcolata con la predizione di Pixel (a quanto mi par di capire, approvata con largo consenso di voti) varrebbe $ p_n = \frac{1}{7}\left(\frac{1}{6}+1\right) = \frac{1}{6} $. Qualcuno mi sussurri all'orecchio che sono un idiota, vi prego... Possibilmente sia il destro, ché tanto di lì non ci sento troppo bene, gh...

Ciao Salvo!

Allora questo è il modo che adotterei io nel caso di 2 dadi:
Abbiamo chiaramente $ 36 $ coppie ordinate di risultati possibili di queste quelle che verificano l'evento in questione sono:
$ (1,6), (6,1),(2,5),(5,2),(3,4)(4,3) $ dunque la probabilità cercata è
$ \frac{6}{36} $ cioè $ \frac{1}{6} $.

Di fatto il tuo ragionamento è equivalente a calcolare la probabilità che dato un dado a $ 11 $ facce numerate da $ 2 $ a $ 11 $ esca $ 7 $ che mi sembra differente dal testo del problema...sia ben chiaro è solo una supposizione.

Ciao
Pixel alias Brend

ah, ma sei brend!!

e dillo prima, cavolo

comunque sì, euler, mi sa che stavolta hai preso una bella cantonata e il motivo l'ha già spiegato brend

Ciao Mattia!
Eh eh mi piace fare il misterioso
No scherzi a parte mi sono dovuto riiscrivere per motivi tecnici

Ciao ciao

Ok, ho capito! Ho interpretato (un po') a modo mio la traccia. Vabbe', però non è che fosse poi chiarillima, essù...

P.S.: ciao, Andrea!

Sì, quanto scritto da Pixel è corretto. Naturalmente (:twisted:) si intendeva la probabilità sui possibili lanci, non sulle possibili somme; d'altronde, cosa risponderesti se ti chiedessi qual è la probabilità di ottenere somma 7, lanciando due dadi? $ \frac{1}{11} $?