Ahhhh!!
Giusto.
Bah, l'idea sarà di raccogliere un fattore due... si può fare perché q è almeno 5. Dammi qualche minuto di TeXare il tutto e ti dico.
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<some time later...>
Allora, resta da dimostrare questo passo, che, per evitare di dover scartabellare avanti e indietro il filo, isolo e chiamo
Lemma 5
Sia $ q $ il solito primo maggiore di 3. Allora si ha che
$
\displaystyle \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant q-1} i^{-1} j^{-1} \equiv 0 \pmod q,
$
dove gli inversi sono presi $ \bmod q $.
Per farmi perdonare, do due dimostrazioni:
Dim.: Chiamo per comodità di notazione $ S $ la sommatoria dell'enunciato.
Allora
$ \displaystyle
2S = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant q-1} i^{-1} j^{-1} + \sum_{1 \leqslant j < i \leqslant q-1} i^{-1} j^{-1} =
$
$ \displaystyle
= \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant q-1; i \neq j} i^{-1} j^{-1}.
$
Definisco per chiarezza $ \mathcal U = \{ 1 \leqslant i,j \leqslant q-1; i \neq j \} $ l'insieme degli indici dell'ultima somma.
Dico che l'inversione $ \bmod q $ è una bigezione di $ \mathcal U $ in sé. [lascio la dimostrazione come esercizio per il lettore].
Tale bigezione permette di eliminare gli inversi [a stretto rigore, si potrebbe addirittura fare a meno, ma transeat...]
Sia ora $ a $ una classe $ \bmod q $ t.c. $ a^2 \not \equiv 1 \pmod q $, che esiste, dato che $ q \geqslant 5 $ e l'equazione $ a^2 - 1 \equiv 0 $ non può avere più di due radici $ \bmod q $.
Dico che l'omotetia di rapporto $ a $, $ \psi_a(i,j) := (ai,aj) $ è nuovamente una bigezione di $ \mathcal U $ in sé. [es.p.i.l.]
Questa omotetia permette, permutando gli addendi, di scrivere
$ \displaystyle
2S = \sum_{\mathcal U} ai \cdot aj = 2 a^2 S.
$
Dato che $ a^2 \not \equiv 1 \pmod q $, segue che $ S \equiv 0 \pmod q $. []
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Sketch di una dimostrazione alternativa
Ho già dimostrato in uno degli altri lemmi che la somma dei quadrati fa $ 0 \bmod q $. Voglio dimostrare che la somma dei prodotti misti $ ij $ "fuori diagonale" fa 0. Dico che fa $ S $ (che, btw, è lo stesso $ S $ di prima).
L'idea è di sommare. Salta fuori che $ \left( \sum i \right) ^2 = 0 + 2S $ (quadrato di un multinomio: quadrati e doppi prodotti). La somma fa 0, quindi $ S $ fa 0. []
Ciao. M.
E per quanto in fondo non si trattasse di quel che mi ero figurato, di buon grado riconosco (per quanto può servire) che il lemma #4 de' tuoi, il claim qui sopra quotato ed il suo proof, nell'insieme, sono veramente (ma veramente!!!) BELLI, oltre che impeccabili nella forma e nella sostanza. 
