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Dimostrare che $ \frac{2^{4n+2}+1}5 $ non è mai primo per n>1

Notiamo che:

$ 2^{4n+2}+1=(2^{2n+1}-2^{n+1}+1)(2^{2n+1}+2^{n+1}+1) $
Ora 5 è primo e visto che divide il nostro prodotto divide uno dei due fattori, notiamo inoltre che le due funzioni che compongono il prodotto a destra sono strettamente crescenti.
Ora visto che per $ n=1 $ uno dei fattori assume il valore $ 5 $ e per ogni n>1 entrambi i fattori sono maggiori strettamente di $ 5 $, nella divisione per $ 5 $ lasceranno un quoziente maggiore di$ 1 $ il che prova che il numero iniziale non può essere primo.

E' spiegato male, lo so...ma l'idea dovrebbe essere chiara...sperando di non aver fatto castronate

Ciao a tutti

Pixel ha scritto:Notiamo che:

$ 2^{4n+2}+1=(2^{2n+1}-2^{n+1}+1)(2^{2n+1}+2^{n+1}+1) $
Ora 5 è primo e visto che divide il nostro prodotto divide uno dei due fattori, notiamo inoltre che le due funzioni che compongono il prodotto a destra sono strettamente crescenti.
Ora visto che per $ n=1 $ uno dei fattori assume il valore $ 5 $ e per ogni n>1 entrambi i fattori sono maggiori strettamente di $ 5 $, nella divisione per $ 5 $ lasceranno un quoziente maggiore di$ 1 $ il che prova che il numero iniziale non può essere primo.

Solo un'osservazione:
Uno dei due fattori nella divisione lascerà un quoto (resto 0). Infatti possiamo scrivere:
$ 2^{4n+2}+1=2^{2(2n+1)}+1=4^{2n+1}+1 $. Studiando le congruenze di 4 modulo 5, osserviamo che: $ 4^k \equiv -1 (\bmod 5) $ per ogni $ k $ dispari. Poiché $ 2n+1 $ è sempre dispari per ogni $ n\in\mathbb{N} $ segue che $ \frac{4^{2n+1}+1}5 $ per ogni $ n\in\mathbb{N} $ è sempre intero; uno dei suoi fattori sarà, quindi, sempre divisibile per 5.

Bye,
#Poliwhirl#