Ok, ricominciamo da capo!!! Sia $ f(\cdot):\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ una funzione di classe $ C^2(\mathbb{R}) $ tale che: $ f(0) = f'(0) = f''(0) = 0 $, con $ f(x) > 0 $, se $ x \neq 0 $. Posto quindi (com'è lecito) $ h(x) := \sqrt{f(x)} $, $ \forall x \in \mathbb{R} $, si osservi che $ h(\cdot) $ è di classe $ C^2 $ in $ \mathbb{R}\setminus\{0\} $, poiché composizione di funzione della stessa specie. In particolare, per la
chain rule, comunque scelto un $ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $: $ \displaystyle{h'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} = \frac{f'(x)}{2h(x)}} $. Si tratta soltanto di stabilire se $ h(\cdot) $ è derivabile con continuità nel punto $ x_0 := 0 $.
Sviluppando mediante la formula di Taylor (con il resto di Peano) arrestata al secondo ordine di derivazione, si ha che, in un intorno opportunamente piccolo di $ x_0 $: $ f(x) = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = o(x^2) $; e perciò, detto $ R(\cdot) $ il rapporto incrementale di $ h(\cdot) $ relativo allo zero: $ \displaystyle{\lim_{k\to 0} R(k) := \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{f(k)}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{o(k)}{k} = 0} $.
Sia adesso $ r\in\mathbb{R}^+ $. Intendiamo dimostrare che, assunto allora $ \displaystyle{M_r := \sup_{x\in[-2r,2r]} f''(x)} $, risulta: $ [f'(x)]^2 \leq 2M_r f(x), \forall x \in[-r,r] $. In tal senso, fissato genericamente un punto $ x\in [-r,r] $, osserviamo che, dalla formula di Taylor (con il resto di Lagrange) arrestata al primo ordine di derivazione, comunque scelto un $ k\in\mathbb{R} $: $ f(x+k) = f(x) + f'(x)k + \dfrac{f''(c)}{2}k^2 $, essendo $ c\in\mathbb{R} $ un punto opportuno in $ ]x-|k|,x+|k|[ $.
Del resto, per le ipotesi di segno formulate su $ f(\cdot) $, il primo membro della relazione indicata è non negativo, qual che sia $ k\in\mathbb{R} $, e così pure (di conseguenza) il secondo membro. E allora la disequazione di 2° grado: $ f(x) + f'(x)k + \dfrac{f''(c)}{2}k^2\geq 0 $ è identicamente soddisfatta su $ \mathbb{R} $, perciocché il discriminante dell'equazione associata ha da essere necessariamente $ \leq 0 $, ossia deve valere: $ [f'(x)]^2 - 2f(x)f''(c) \leq 0 $, e quindi: $ [f'(x)]^2 \leq 2f(x)f''(c) \leq 2M_r f(x) $. Dacché questa stessa relazione si ripete per ogni $ x\in [-r,r] $, prontamente ne fa seguito l'asserto.
A questo punto, si osservi che, per aver supposto $ f(\cdot)\in C^2(\mathbb{R}) $: $ \displaystyle{\lim_{x\to 0}} M_r = 0 $, cosicché: $ \displaystyle{0 \leq \lim_{x \to 0} [h'(x)]^2 = \lim_{x \to 0} \dfrac{[f'(x)]^2}{4f(x)} $ $ \leq \lim_{x \to 0} \dfrac{M_r}{2} = 0} $. Di qui, per applicazione dello
squeeze principle: $ \displaystyle{\lim_{x \to 0} [h'(x)]^2 = 0} $, e dunque: $ \displaystyle{\lim_{x \to 0} h'(x) = 0} $. Se ne conclude che $ h(\cdot) $ è pure derivabile con continuità nello zero, perciocché $ h\in C^2(\mathbb{R}) $, q.e.d.
NOTA: debbo (e voglio) ringraziare EvaristeG per i suoi
essenziali suggerimenti sul problema: è certo che senza il suo aiuto non sarei mai giunto a queste conclusioni! Grazie,
Sam.
