Si consideri il parallelogramma ABCD e si tracci una qualunque
circonferenza $ \gamma $ passante per il vertice A.
Essa tagli,internamente, i lati AB ed AD nei punti P ed R e la
diagonale AC nel punto Q.
Dimostrare che : AQ*AC=AP*AB+AR*AD
Problemino romano
Ciao raga... talvolta mi vanto che i miei interessi sono poliedrici... mi sono così dedicato a questo problema anche per salutarvi visto che nn passo più spesso da queste parti!
Traccio RQ e QP. Osservo la similitudine tra RPQ e ADC, che mi permette di scrivere queste relazioni:
RQ:AD=QP:DC=RP:AC
inoltre ARQP è circoscrittibile e per il teorema che credo si chiami di Tolomeo:
AR*PQ+AP*RQ=AQ*RP
le idee geometriche sono finite, il resto è aritmetica. Ricavo dalle relazione di similitudine:
QP=RQ*DC/AD
RQ=AD*QP/DC
RP=QP*AC/DC
che sostituite nella relazione, portano a (per semplificare nei calcoli si osservi che QP*AD=RQ*DC):
AQ*AC=AR*DC+AD*AP
dato che siamo in un parallelogramma
AQ*AC=AR*AB+AP*AD
mi accorgo ora che la relazione da mè trovata è però leggermente diversa...e le 2 forme nn mi paiono coinciliabili..
Traccio RQ e QP. Osservo la similitudine tra RPQ e ADC, che mi permette di scrivere queste relazioni:
RQ:AD=QP:DC=RP:AC
inoltre ARQP è circoscrittibile e per il teorema che credo si chiami di Tolomeo:
AR*PQ+AP*RQ=AQ*RP
le idee geometriche sono finite, il resto è aritmetica. Ricavo dalle relazione di similitudine:
QP=RQ*DC/AD
RQ=AD*QP/DC
RP=QP*AC/DC
che sostituite nella relazione, portano a (per semplificare nei calcoli si osservi che QP*AD=RQ*DC):
AQ*AC=AR*DC+AD*AP
dato che siamo in un parallelogramma
AQ*AC=AR*AB+AP*AD
mi accorgo ora che la relazione da mè trovata è però leggermente diversa...e le 2 forme nn mi paiono coinciliabili..
