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Si consideri il parallelogramma ABCD e si tracci una qualunque
circonferenza $ \gamma $ passante per il vertice A.
Essa tagli,internamente, i lati AB ed AD nei punti P ed R e la
diagonale AC nel punto Q.
Dimostrare che : AQ*AC=AP*AB+AR*AD

Ciao raga... talvolta mi vanto che i miei interessi sono poliedrici... mi sono così dedicato a questo problema anche per salutarvi visto che nn passo più spesso da queste parti!

Traccio RQ e QP. Osservo la similitudine tra RPQ e ADC, che mi permette di scrivere queste relazioni:

RQ:AD=QP:DC=RP:AC

inoltre ARQP è circoscrittibile e per il teorema che credo si chiami di Tolomeo:

AR*PQ+AP*RQ=AQ*RP

le idee geometriche sono finite, il resto è aritmetica. Ricavo dalle relazione di similitudine:

QP=RQ*DC/AD
RQ=AD*QP/DC
RP=QP*AC/DC

che sostituite nella relazione, portano a (per semplificare nei calcoli si osservi che QP*AD=RQ*DC):

AQ*AC=AR*DC+AD*AP

dato che siamo in un parallelogramma

AQ*AC=AR*AB+AP*AD

mi accorgo ora che la relazione da mè trovata è però leggermente diversa...e le 2 forme nn mi paiono coinciliabili..

La soluzione è quasi perfetta;solo

info ha scritto:
RQ:AD=QP:DC=RP:AC

è in realtà AC:RP=AD:PQ=DC:QR

Boh... può essere... dovrei rivedere, io con i calcoli non ci vado proprio d'accordo, forse dovrei cercare di essere più ordinato... certo che dopo tanto tempo...grazie per aver controllato cmq..

ps: che caso che abbia visto il tuo msg! Nn passo più spesso da stè parti!