Trovare tutte le coppie di numeri primi p e q tali che p^2+3pq+q^2 sia:
<BR>
<BR>a) un quadrato perfetto
<BR>
<BR>b) una potenza di 5
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>a) Da p^2+3pq+q^2=k^2 segue che pq=k^2-(p+q)^2=(k-(p+q))(k+p+q). Dato che k+p+q > p e k+p+q > q si ha che k-(p+q)=1 e k+p+q=pq. Combinando queste due relazioni si ha che (p-2)(q-2)=5 l\'unica soluzione di questa equazione e\' p=3 e q=7 (e simmetrica).
<BR>
<BR>
<BR>b) Da p^2+3pq+q^2=5^k (si ha che k > 1 infatti il primo membro e\' maggiore di 5 ( > =20)) segue che (p-q)^2=5^k-5pq=5(5^(k-1)-pq). Da questa si ha che sia p-q che pq sono multipli di 5. Cioe\' p-q=r5 e pq=s5. Dalla seconda di queste segue che uno tra p e q e\' 5 ma questo, per la prima, implica che anche l\'altro e\' multiplo di 5 cioe\' e\' uguale a 5.
<BR>
<BR>
<BR>
G4 Problema 18
Commenti e suggerimenti sull'iniziativa del "Giornalino della Matematica"
Moderatore: tutor
Torna a “[vecchio forum]Giornalino della Matematica”
Vai a
- Getting Started
- ↳ Comitato di accoglienza nuovi utenti
- ↳ Ciao a tutti, mi presento:
- ↳ Glossario e teoria di base
- Problem solving olimpico
- ↳ Algebra
- ↳ Combinatoria
- ↳ Geometria
- ↳ Teoria dei Numeri
- Altri esercizi
- ↳ Matematica ricreativa
- ↳ Matematica non elementare
- ↳ Fisica
- ↳ Informatica
- Supporto tecnico
- ↳ Il sito delle olimpiadi della matematica
- ↳ LaTeX, questo sconosciuto
- Gare e concorsi
- ↳ Olimpiadi della matematica
- ↳ Gara a squadre
- ↳ Giornalino del gruppo tutor
- ↳ Altre gare
- ↳ Scuole d'eccellenza e borse di studio
- Tra un problema e l'altro...
- ↳ Cultura matematica e scientifica
- ↳ Il colmo per un matematico
- ↳ Discorsi da birreria
- I messaggi del vecchio forum (memoria storica di sola lettura)
- ↳ [vecchio forum]Le olimpiadi della matematica
- ↳ [vecchio forum]Come vedo il sito delle Olimpiadi della Matematica
- ↳ [vecchio forum]Giornalino della Matematica
- ↳ [vecchio forum]Gruppo Tutor
- ↳ [vecchio forum]Proponi gli esercizi
- ↳ [vecchio forum]Compro, baratto, vendo, rido!
- ↳ [vecchio forum]Cesenatico
- ↳ [vecchio forum]Sondaggi, che passione!
- ↳ [vecchio forum]Proposte ai Responsabili Provinciali
- ↳ [vecchio forum]Tra responsabili
- ↳ [vecchio forum]Non solo Matematica!