OliForum Matematico

Inizio a sospettare di essere posseduto... Questo l'ho scritto e dimostrato stamattina, mentre assieme a b0mb0l0 si sfogliavano le pagine della rivista "Archimede". Ovviamente l'invito è per voi a tentare di provarlo...

Problema #1: per ogni intero $ n > 2 $, poniamo $ \displaystyle s_n := \sum_{k=2}^{n-1} \frac{k-1}{k} =: \frac{x_n}{y_n} $, ove $ x_n, y_n $ sono interi positivi e tali che $ \gcd(x_n, y_n) = 1 $. Si mostri allora che $ n $ è primo in $ \mathbb{N} $ sse $ x_n + y_n \equiv 0 \bmod n $.

Yaaaaaaaaawnnn... SI GENERALIZZA!!! Ok, forse è il caso di prenotare per un controllo...

Problema #2: essendo $ r\in \mathbb{N}_0 $, poniamo $ \displaystyle s_n^{(r)} := \sum_{k=2}^{n-1} \left(\frac{k-1}{k}\right)^{\!r} =: \frac{x_n^{(r)}}{y_n^{(r)}} $, per ogni intero $ n > 2 $, ove $ x_n^{(r)}, y_n^{(r)} $ sono essi stessi degli interi positivi tali che $ {\gcd(x_n^{(r)}, y_n^{(r)}) = 1 $. Si mostri ch'esiste allora un $ v_r\in\mathbb{N}_0 $ minimo tale

per cui, comunque fissato un $ n $ naturale $ > v_r $, risulta che $ n\in\mathfrak{P} $ sse $ x_n^{(r)} + y_n^{(r)} \equiv 0 \bmod n $.

BONUS QUESTION: determinare esplicitamente l'intero $ v_r $ la cui esistenza è postulata dal problema.

Un consiglio: se proprio vi ci volete cimentare, beh... partite dal risolvere il problema #1!!!