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Dire per quali n la seguente espressione è un numero intero:
$ \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\ldots}}} $

c'è da fare una verifica sulla convergenza di quella espressione. Lascio a voi il compito di dire per quali n va bene. Altrimenti è troppo facile.

Stesso discorso con la seguente:
$ \frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\ldots}}} $.


li avevo postati in matematica avanzata, ma son piuttosto semplici. se volete, di là trovate un esercizio mooolto più difficile.

Proviamo il primo:

Definita la successione:
$ a_0=\sqrt{n} $
$ a_m=\sqrt{n+a_{m-1}} $

Abbiamo:

LEMMA #1:
La successione definita sopra è limitata superiormente dal valore $ \frac{1+\sqrt{1+4n}}{2} $

Dim:
Procediamo per induzione su m e chiamiamo per comodità $ M=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2} $
Se $ m=0 $ la tesi segue banalmente, supponiamo allora che $ a_{m-1}<M $ e dimostriamo che anche $ a_m<M $.
$ a_m=\sqrt{n+a_{m-1}}<M $ implica $ 4a_{m-1}<4M $ da cui la tesi (se non ho sbagliato i conti)
Ora

LEMMA #2:
La successione è strettamente crescente

Dim: Lasciata per esercizio, ma si tratta solo di risolvere una disequazione che risulta banale per il lemma precedente.

Dunque dal Lemma #1 e #2 abbiamo che il limite della successione esiste finito.
Sia x tale limite abbiamo quindi:
$ x=\sqrt{n+x} $ cioè $ x^2-x-n=0 $ ora x è intero se e solo se
$ 1+4n=(2k+1)^2 $ con k intero positivo, ma allora x è intero se e solo se $ n=k^2+k $ per ogni k intero positivo.

Spero di essere stato chiaro e di non aver fatto castronate
Ciao ciao

direi che è ok.
Quel lemma 1 penso che si riesca a sostituire con qualcosa di più elegante. tuttavia funziona.
e per l'altro?

pazqo ha scritto:Dire per quali n la seguente espressione è un numero intero: $ \frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\ldots}}} $.

C'è da fare una verifica sulla convergenza di quella espressione. Lascio a voi il compito di dire per quali n va bene. Altrimenti è troppo facile.

Siccome la traccia non è che sia poi molto chiara in proposito (e la voce fuori campo aggiunse: "HiT, trattieniti!!!"), beh... assumerò $ n\in\mathbb{N}_0 $. Ciò detto, sia dunque $ \{c_k\}_{k\in\mathbb{N}} $ la successione dei convergenti $ k $-esimi della frazione continua indicata dal problema. E' banale verificare per induzione che, per ogni $ k\in\mathbb{N}_0 $: $ 0 < c_{2k} < c_{2k+2} < ... < c_{2k+1} < c_{2k-1} \leq 1 $, onde dedurne che la frazione continua qui presa in considerazione è incondizionatamente convergente, qualunque sia $ n\in\mathbb{N}_0 $.

Sia perciò $ \displaystyle{\ell := \lim_{k\to \infty} c_k} \geq 0 $. Poiché, per ogni $ k\in\mathbb{N} $: $ c_{k+1} = \dfrac{1}{n+c_k} $, passando al limite ai due membri per $ k\to\infty $, si trova: $ \ell = \dfrac{1}{n+\ell} $, e quindi: $ \ell^2 + n\ell - 1 = 0 $, donde: $ \ell = \dfrac{-n + \sqrt{n^2 + 4}}{2} $. Pertanto, condizione necessaria affinché $ \ell\in\mathbb{N} $ è che $ n^2 + 4 = x^2 $, per qualche $ x\in\mathbb{N} $, but there's nothing to do for that! Basti infatti osservare che l'uguaglianza è impossibile se $ 2 \nmid n $, poiché si avrebbe in tal caso: $ 1 \equiv n^2 + 4 \equiv x^2 \equiv 1 \bmod 8 $, e quindi: $ 4 \equiv 0 \bmod 8 $; verificare che non sussiste per $ n = 2 $ e infine sfruttare il distanziamento crescente dei quadrati. Baaah... Adesso qualcuno mi spiega che senso ha l'altro problema? Mi meraviglio di come Pixel abbia preteso di risolverlo, e del fatto che pazqo gli abbia pure dato la sua benedizione!!!

nel secondo esercizio, in effetti, per nessun n si ha un valore intero.
sapresti dimostrare, a questo punto, che è un irrazionale quadratico?

pazqo

pazqo ha scritto:nel secondo esercizio, in effetti, per nessun n si ha un valore intero. Sapresti dimostrare, a questo punto, che è un irrazionale quadratico?

Ehmmm... Tenti di prendermi in giro o cos'altro, scusa? Che $ \ell $ sia irrazionale, è stato già dimostrato, provando che $ \sqrt{n^2 + 4} $ è appunto tale, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $. Che poi sia quadratico è stato pure verificato, mostrando che $ \ell $ risolve l'equazione a coefficienti interi: $ x^2 + nx - 1 = 0 $, per cuiii... davvero non saprei cosa pensare, pazqo! Posso dirtelo spassionatamente da ingegnere?!? Voi matematici, talora, mi lasciate piuttosto perplesso...

no, non ho avuto voglia di modificare quella richiesta banale con una più difficile...

E comunque non mi pare la sezione più indicata per parlare di limiti, quantunque anch'io l'abbia fatto! Ma questo soltanto perché il problema lo imponeva, tutto lì...

pazqo ha scritto:nel secondo esercizio, in effetti, per nessun n si ha un valore intero.
sapresti dimostrare, a questo punto, che è un irrazionale quadratico?

Beh, siamo in "Mate non Elementare", no? Quindi possiamo anche citare un teoremuzzo classico di TdN: un numero è un irrazionale quadratice sse la sua espressione in frazioni continue è periodica.

Ciao. M.