OliForum Matematico

Probabilmente e' vecchio, ma ve lo dico lo stesso per chi non lo conosca.

Dimostrare che il prodotto di due interi positivi consecutivi non e' mai la potenza di un intero (esponente intero > 1).

Edit: Corretta condizione sull'esponente. (come faremmo senza HiTLeuLeR!!!!!!)

Franchifis ha scritto:Dimostrare che il prodotto di due interi positivi consecutivi non e' mai la potenza di un intero (esponente qualsiasi).

Non proprio qualsiasi, essù... L'esponente in questione, chiaramente, ha da supporsi non unitario, ma vabbe'... Si tratta in tutta evidenza di una svista, non c'è bisogno di levare i toni. Sia come sia, non conoscendo il problema, rientrerei di diritto nella classe dei potenziali solutori indicati da Franchifis. Tuttavia, siccome è facile (per stessa ammissione del proponente) e mi sento magnanimo, lascio volentieri agli altri il piacere di potercisi dedicare. Quindi mi ritiro per la cena al grido di...: "Ah, i coprimi! Aaah, Newton!!!" Intendiamoci: i miei son solo gemiti di piacere...

Bon, siccome ho attivato la modalità TdN per studiarmi la soluzione di Marco al problema #3 del topic "Primi e binomiali", e poiché del resto la mia lettura è stata bruscamente interrotta alle sue primissime battute, beh... ho deciso che verrò meno alla parola data (...) e risolverò senz'ulteriore indugio codesto problema, che bazzica ormai sul forum (addirittura?!? ) da ben oltre un giorno. Toh, che bello...

Per assurdo, supponiamo esistano $ n,k\in\mathbb{N} $, con $ n > 0 $ e $ k \neq 1 $, tali che: $ n(n+1) = a^k $, per qualche $ a\in\mathbb{N}_0 $. Poiché $ \gcd(n,n+1) = 1 $, la condizione precedente implica allora che debbano esistere nondimeno $ u,v\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ uv = a $, $ u^k = n $ e $ v^k = n+1 $.

Se ne deduce dover essere $ k > 0 $, e quindi $ k \geq 2 $, e nondimeno $ u < v $, ovvero: $ v \geq u + 1 $. Onde trarne banalmente che: $ u^k + 1 = n + 1 = v^k \geq (u+1)^k > u^k + 1 $, per conseguenza del teorema binomiale di Newton. Cosa si dice in questi casi? Ah, sì... Assurdo!!! Bon, ne fa seguito la tesi, q.e.d.