Un uomo ossessionato dalla funzione di Eulero

[HiTLeuLeR]

Premesse: sia $ n $ un intero $ > 0 $. Evidentemente, è sempre determinato un $ k \in\mathbb{N}_0 $ tale che esistano $ k $ altri interi $ x_1, x_2, \ldots, x_k\in\mathbb{N}_0 $ per cui: $ \displaystyle \sum_{i=1}^k \varphi(x_i) = n $. Basti assumere $ k := n $ ed $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n := 1 $.
E allora l'insieme $ \Phi_n := $ $ \displaystyle\left\{k\in\mathbb{N}_0: \exists^{\bmox{no}} x_1, x_2, \ldots, x_k \in\mathbb{N}_0 \mbox{ t.c } \sum_{i=1}^k \varphi(x_i) = n\right\} $ è non vuoto, poiché banalmente $ n\in\Phi_n $. Del resto, $ \Phi_n $ è un sottoinsieme di $ \mathbb{N}_0 $, e quindi (per il principio del buon ordine) ammette un elemento minimo assoluto (peraltro, unico!!!). Sia $ \mbox{trg}(n) := \min(\Phi_n) $.

Ecco allora i problemi che vi propongo di risolvere:

Problema #1: mostrare ch'esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ \mbox{trg}(n) = 1 $.

Problema #2: mostrare ch'esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ \mbox{trg}(n) = 2 $.

Problema #3: mostrare ch'esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ \mbox{trg}(n) = 3 $.

I problemi #1 e #2 sono assolutamente banali, una volta maturati i concetti discussi nelle premesse. Suggerirei pertanto agli universitari di concentrarsi, evnetualmente, sul #3. Grazie!!! Ah, prima che me ne dimentichi... Come chiamereste voi il minimo di quell'insieme? Dovrò pure battezzarlo in qualche modo, non vi pare? Pro-postate numerosi, su...

Un pubblico riconoscimento a pazqo, per avermi (quantomeno) ispirato il problema sulla base di un precedente enunciato del tutto privo di senso!!!

EDIT: ci avevo scritto "\phi", anziché "\varphi"... Speriamo che il Maestro non se la sia presa!!!

[HiTLeuLeR]

Ne abbiamo ragionato lungamente con pazqo e vi dirò: ho un argomento molto convincente, ancorché condizionato, a supporto della susseguente...:

Congettura #1: per ogni intero $ n > 0 $: $ \mbox{trg}(n) \leq 3 $.

Peccato soltanto che il mio proof sia vincolato alla dimostrazione di un'altra congettura moooooolto famosa...
Ci si diceva con il solito pazqo che forse è possibile un approccio alternativo, ed è essenzialmente questa la ragione per cui mi sono risolto di editare questo post ulteriore sull'argomento. A qualcuno di voi potrebbe giusto venire un lampo di genio... Comunque vi terrò aggiornati: so di rendervi cosa gradita!

[Boll]

Spezziamo una lancia in favore di Euler, la notazione fa schifo, le premesse sono più difficili del problema, ma in fondo è olimpico, su...

Problema #1: mostrare ch'esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ \mbox{trg}(n) = 1 $.

Problema #2: mostrare ch'esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ \mbox{trg}(n) = 2 $.

Per l'1 basta osservare che se dimostriamo che la funzione $ \varphi(\cdot) $ tocca infiniti punti distinti, la tesi è provata. Poichè esistono infiniti primi distinti, togliendo a tutti essi l'unità avremo ancora infiniti numeri distinti. q.e.d.

Per il 2 prendiamo in considerazione $ n=p $, poichè la funzione $ \varphi(n) $ se $ n>2 $ è sempre pari per come è definita, $ p $ non è $ \varphi $ di nessun numero ed è però uguale a $ \varphi(p)+\varphi(1) $ come richiesto da problema. Poichè i primi distinti sono infiniti abbiamo anche questa tesi.

[HiTLeuLeR]

Sì, Bollazzo, tutto perfettizzimo! Soltanto nota che, nel caso del problema #2, la soluzione che hai proposto impone che i primi in questione siano $ > 2 $, ché infatti le tue premesse sulla parità di $ \varphi(n) $, quando $ n $ sia un intero $ > 2 $, acquistano corpo considerando giust'appunto che, là dove sia $ p $ un primo naturale $ > 2 $, non esiste alcun $ n\in\mathbb{N}_0 $ per cui: $ \phi(n) = p $, cosicché $ \mbox{trg}(p) \geq 2 $. Bon, ciò detto, ti meriti senz'ombra di dubbio un bel "bravo". Qualcuno prenda a paradigma questo caso, prima di aprir bocca giusto per dare fiato alle fauci... Si giudichino i problemi per quel che sono, e non per come si presentano!

P.S.: oh... Grazie per l'arancia che hai voluto spezzare in nome mioi!!! Solo mi chiedo... Ne avevo bisogno?

[Boll]

[OT]
Un pò estemporanaeo, io mi sono adattato alla tua notazione, Euler, ma secondo me:
$ \phi(\cdot) $ è la totiente di Eulero
$ \displaystyle \varphi=\frac{1+sqrt(5)}{2}=1,618 $
con propietà annesse e connesse. In fondo

Codice: Seleziona tutto

\varphi

vorrà indicare la variabile phi...
[/OT]

[HiTLeuLeR]

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P.S.: sì, sono parolacce, Boll! TUTTE per te: non ringraziarmi, non servirebbe... Piuttosto mettiti a risolvere il problema #3, se proprio non sai cosa scrivere! Arrrgh... Ti faccio paura, eh?

P.P.S.: non ti è manco passato per la capa che "\varphi" (analogo discorso dicasi per "\varepsilon") possa indicare semplicemente una variante per il simbolo "\phi"? Bah, cosa mi costringo a sopportare, Dio mio...