Inviato: 13 mar 2005, 21:27
Ora voglio sapere xkè Omega + 2 è diverso da 2 + omega!!!!! 
sono giorni che mi scervello... Vi prego ditemeloooo
sono giorni che mi scervello... Vi prego ditemeloooola somma ordinale è definita a destra nel modo seguente:
$ a + S(B) = S(a+b) $, dove S è la funzione successore e a e b sono una "generalizzazione" dei numeri naturali (in realtà sono insiemi con determinate proprietà, ma per ora prendili in questo modo) e si chiamano ordinali.
Ad esempio: 5+3 = 5 + S(2) = S(5+2) = S(5+S(1)) = S(S(5+1)) = S(S(5+S(0))) = S(S(S(5+0))) = S(S(S(5))), a cui attibuiamo il simbolo 8.
Per gli assiomi di Zermelo-Fraenkel, esiste un ordinale $ \omega\neq 0 $ tale che non è successore di alcun numero e sia il più piccolo con questa prorietà (la relazione d'ordine è essenzialmente la stessa che c'è sui naturali.
Ora, $ 2+\omega $ e $ \omega +2 $ sono diversi.
Infatti $ \omega + 2 = \omega + S(1) = S(\omega + 1) = S(\omega + S(0)) = S(S(\omega + 0)) $$ =S(S(\omega)) $,
mentre $ 2 + \omega $ non può essere calcolato in quel modo, poiché $ \omega $ non è successore. il calcolo di $ 2 + \omega $ richiede un passaggio al limite che non è banale (devi prendere l'unione dei $ 2+\lambda $, con $ \lambda $ che varia tra gli ordinali più piccoli di $ \omega $).
Tieni conto che questa spiegazione è mooolto semplificata.
si può dimostrare che a+b = b+a se a e b sono naturali (più piccoli si $ \omega $, ma la commutatività non vale in generale (come nel caso preso in considerazione)
ps: tanto per dire come sono fatti i naturali visti come ordinali:
$ 0 = \emptyset $
$ 1 = \{0\} = \{\emptyset\} $
$ 2 = \{0,1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} $
$ 3 = \{0,1,2\} = \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} $
$ n = \{0,1,2,\ldots,n-1\} $
$ \vdots $
$ \omega = \bigcup_n n $
ps per i moderatori:
ho provato a postare questo codice:
Codice: Seleziona tutto
\omega + 2 = \omega + S(1) = S(\omega + 1) = S(\omega + S(0)) = S(S(\omega + 0)) = S(S(\omega ))