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Penso che tutti voi abbiato giocato a Tetris, quindi non vi scandalizzate se parlo dei pezzi a forma di T. In linguaggio tecnico, in combinatoria geometrica, parliamo di tetramino a T (tetramino, perche' formato da quattro quadratini).Supponiamo di avere una scacchiera quadrata di lato n.
Per quali n essa puo' avere un tiling con tetramini a T - ovvero puo' essere ricoperta con i pezzi a T del Tetris, senza che i pezzi si sovrappongano?

Carino, e abbastanza semplice. Rilancio: per quali n si può ricoprire allo stesso modo una scacchiera rettangolare di lati n e n+1?

Catraga ha scritto:Penso che tutti voi abbiato giocato a Tetris, quindi non vi scandalizzate se parlo dei pezzi a forma di T. In linguaggio tecnico, in combinatoria geometrica, parliamo di tetramino a T (tetramino, perche' formato da quattro quadratini).Supponiamo di avere una scacchiera quadrata di lato n.
Per quali n essa puo' avere un tiling con tetramini a T - ovvero puo' essere ricoperta con i pezzi a T del Tetris, senza che i pezzi si sovrappongano?

ci provo con l'intuito:
$ n=4 \cdot k $ con $ k \in \mathbb{N} , k \geqslant 1 $
sperando non sia un'idiozia XD

Mi sono interessato a questo problema poco tempo fa, per i rettangoli.
Non so se Catraga abbia trovato una soluzione, ma vi assicuro che è molto molto complicata!!
Il problema per i rettangoli è stato risolto da Walkup nel 1965, in un articolo pubblicato sull'American Mathematical Monthly (vol. 72, n. 9), in una dimostrazione elementare, ma lunga quasi 3 pagine. Pare che in tutta la letteratura non ne esistano altre dimostrazioni.

Il risultato è questo: gli unici rettangoli tassellabili sono quelli i cui lati sono multipli di 4.

La condizione sufficiente è facile da dimostrare, inoltre è anche facile far vedere che l'area dev'essere multipla di 8.

Un altro articolo, che considera il "tile homology group" dei tasselli a T con una tecnica introdotta da Conway, dimostra che non esistono colorazioni che permettano di risolvere il problema oltre questo punto (e sono quindi necessarie delle considerazioni sulle restrizioni geometriche del problema, come quelle che fa Walkup).

Ah, ma per i quadrati è semplicissimo... lol!

MindFlyer ha scritto:Il problema per i rettangoli è stato risolto da Walkup nel 1965, in un articolo pubblicato sull'American Mathematical Monthly (vol. 72, n. 9), in una dimostrazione elementare, ma lunga quasi 3 pagine. Pare che in tutta la letteratura non ne esistano altre dimostrazioni.

Pensi che si riesca a trovare in internet?

Io non sono riuscito a trovarlo su internet.
La biblioteca del mio dipartimento me l'ha trovato tramite JSTOR, che è un archivio online che contiene diversi giornali e pubblicazioni. Però penso che per usarlo ci vogliano permessi speciali.

Liquid, la tua risposta e' giusta, ma incompleta.
Non so come tu l'abbia dimostrato intuitivamente, la parte un po' piu' complicata e' dimostrare che non esiste un tiling per n=6,10,.. ovvero quando n e' della forma 4k+2. E' chiaro che se n e' dispari non vi puo' essere un tiling, se n e' multiplo di quattro si esibisce un tiling, ma se n e' 4k+2...

Pps, in biblioteca di mate teniamo l'American mathematicl monthly, posso scannerizzare l'articolo e inviartelo (il tutto e' profondamente legale, non sto scherzando). Per JSTOR, dipende, o l'intranet universitario ce lo ha gia' di suo oppure l'unica e' chiedere ai bibliotecari, od essere bibliotecario tu stesso

se hai tempo e voglia di inviarmelo, ti ringrazio!

.... aggiungo anche la mia a questo piccolo consesso.

Nel recente passato sono stato istigato a tassellare con i T-tetramini. Dimostrare che è possibile tassellare un cilindro di altezza 8 e circonferenza 5. (Alla faccia di chi dice che si fanno solo i multipli di 4!!)

Non per dire, ma non e' stata postata ancora una soluzione, attualemte ci sono tre problemi aperti:
1) Tiling di una scacchiera quadrata di lato n (Catraga)
2) Tiling di una scacchiera di nquadretti per n+1 (Pps)
3) Tiling di un cilindro di altezza 8 e circonferenza 5 (Marco)
Avanti, qualcuno prponga delle soluzioni ad uno dei quesiti... sono bei problemini e molto utili...

Avevo scritto quà una via secondo mè percorribile per arrivare alla sol (ma non percorsa!)... è cmq meglio che pps posti direttamente la sua soluzione..

saluti

io ho solo notato che il quadrato più piccolo tassellabile coi tetramini era di lato 4:



poi ho pensato tutti i quadrati maggiori come formati da tanti di questi quadrati...

lo so, non è molto scientifico

premesso che la dimostrazione non la so, la soluzione è già stata data...

mio caro... se dici "carino. e abbastanza semplice" io posso solo evincere che hai trovato una dimostrazione che i quadrati del tipo 4k+2 nun se possono fà... Se ce l'hai disponibile (cosa che non mi è ancora chiara!), scrivila...

Allora a questo punto scrivo la traccia del mio tentativo che magari può illuminare qualcuno: numero le caselle da 1 a 4 di modo che i tetramini orizzontali contengano solo numeri diversi; dimostro con queste informazioni che i tetramini verticali sono pari (cosa da fare!) e concludo che il numero totale di tetramini è pari...

Per quanto riguarda liquid, il tuo procedimento è (sottolineato) scientifico... cosa vorresti fare: dimostrare teoricamente che è tassellabile un quadrato 4X4? Il tuo procedimento mi pare indispensabile!

Saluti che c'è Scrubs in TV!