In un parallelepipedo di spigoli a, b, c (a >> b >> c) fatto di materiale semiconduttore scorre una corrente I parallela allo spigolo a. La corrente può essere considerata composta da elettroni ciascuno dei quali è dotato di velocità $ v = \mu E $ dove mu è chiamata mobilità ed è propria del materiale.
La barra è immersa in un campo magnetico esterno parallelo allo spigolo c di intensità B. In presenza di questo campo magnetico, il campo elettrico all'interno del materiale (che come detto prima è proporzionale alla velocità degli elettroni) non è più parallelo alla corrente. Questo effetto prende il nome di Hall.
a) Determinare il modulo e direzione del campo elettrico interno alla barra per produrre tale corrente.
b) Calcolare la differenza di potenziale tra le due superfici del parallelepipedo distanti b tra di loro.
c) Ripetere il punto b nel caso in cui il campo magnetico vari secondo $ B=B_0 \sin {(\omega t + \delta)} $ e la corrente secondo $ I=I_0 \sin {\omega t} $.
Dati:
mobilità in questo materiale (InSb): $ 7,8 \cdot m^{2} V^{-1} s^{-1} $
la densità di elettroni in questo materiale è: $ 2,5 \cdot 10^{22} m^{-3} $
I = 1,0 Ampere
B = 0,10 Tesla
b = 1,0 cm
c = 1,0 mm
Effetto Hall
Effetto Hall
Ultima modifica di bh3u4m il 16 mar 2005, 17:11, modificato 1 volta in totale.
Può essere?
alfa = arctg (mu*B)
dove alfa è l'angolo formato da E con li lato a ?
Ho supposto che v = mu*E vale solo se non intervengono altre forze diverse da quelle del campo elettrico (in particolare può valere per un componente della velocità e non per l'altro)...
se questo è corretto faccio i primi due punti (che dovrebbero passar lisci!) e provo i calcoli del terzo...
-------------
osservazioni a lato:
vale mu = ro*n*e ----dove ro è la resistività del materiale, proprietà più comune! n è la densità volumica di portatori ed e la carica di un elettrone.
Cmq le unità di misura di mu non mi paiono corrette... controlla plz
------------
ps: l'altro es provo a farlo domani! Noto cmq che oggi non c'ho proprio un c***o da fare!
alfa = arctg (mu*B)
dove alfa è l'angolo formato da E con li lato a ?
Ho supposto che v = mu*E vale solo se non intervengono altre forze diverse da quelle del campo elettrico (in particolare può valere per un componente della velocità e non per l'altro)...
se questo è corretto faccio i primi due punti (che dovrebbero passar lisci!) e provo i calcoli del terzo...
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osservazioni a lato:
vale mu = ro*n*e ----dove ro è la resistività del materiale, proprietà più comune! n è la densità volumica di portatori ed e la carica di un elettrone.
Cmq le unità di misura di mu non mi paiono corrette... controlla plz
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ps: l'altro es provo a farlo domani! Noto cmq che oggi non c'ho proprio un c***o da fare!
Mi permettete di dare la mia soluzione?
Detta n la densità di carica (numero di elettroni liberi per unità di volume), la carica contenuta in una fettina di spessore ds di parallelepipedo è dq=neAds, con A area della sua sezione. La corrente è allora I=dq/dt= neAv con v velocità di deriva. Ed essendo v=μE ,A=bc è I=nebcμE. Da cui il campo è
E= I/nebcμ in direzione e verso della corrente. La velocità di deriva è v= I/nebc . Per effetto Hall gli elettroni vengono spinti dalla forza di Lorentz verso una faccia del parallelepipedo che risulta carica di segno meno opposto a quello della faccia di fronte. La forza è F=-nevXB con F.v.b vettori e X prodotto vettoriale. Essendi v perpendicolare a B il modulo di F è F= nevB. In condizioni di equilibrio allora il modulo del campo elettrico di Hall risulta
EH= nevB/ne=vB=BI/neA=BJ/ne con J densità di corrente, in direzione perpendicolare a v e B e verso dal positivo al negativo. La d.d.p è ΔV=BJb/ne.
Nel caso della corrente alternata le cose non cambiano molto la velocità di deriva risulta v=(I/nebc)senωt
La forza di Lorentz F=(I/bc ) senωt B sen(ωt +δ), Il campo E= IB/nebc ) senωt sen(ωt +δ),La d.d.p.
ΔV= (JBb/ne ) senωt sen(ωt +δ). Ma si ha facilmente senωt sen(ωt +δ)=cos δ-cos(2 ωt+ δ)=
cos δ+sen (2 ωt+ δ+π). Allora la d.d.p. di Hall è ΔV=(JBb/ne ) cos δ+ (JBb/ne ) sen (2 ωt+ δ-π/2), somma di una d.d.p. costante e di una alternata di frequenza doppia di quella della corrente sfasata rispetto ad essa di δ-π/2.
Si osserva che per δ=π/2 la componente costante si elimina e si ha
ΔV= (JBb/ne ) sen (2 ωt)
Detta n la densità di carica (numero di elettroni liberi per unità di volume), la carica contenuta in una fettina di spessore ds di parallelepipedo è dq=neAds, con A area della sua sezione. La corrente è allora I=dq/dt= neAv con v velocità di deriva. Ed essendo v=μE ,A=bc è I=nebcμE. Da cui il campo è
E= I/nebcμ in direzione e verso della corrente. La velocità di deriva è v= I/nebc . Per effetto Hall gli elettroni vengono spinti dalla forza di Lorentz verso una faccia del parallelepipedo che risulta carica di segno meno opposto a quello della faccia di fronte. La forza è F=-nevXB con F.v.b vettori e X prodotto vettoriale. Essendi v perpendicolare a B il modulo di F è F= nevB. In condizioni di equilibrio allora il modulo del campo elettrico di Hall risulta
EH= nevB/ne=vB=BI/neA=BJ/ne con J densità di corrente, in direzione perpendicolare a v e B e verso dal positivo al negativo. La d.d.p è ΔV=BJb/ne.
Nel caso della corrente alternata le cose non cambiano molto la velocità di deriva risulta v=(I/nebc)senωt
La forza di Lorentz F=(I/bc ) senωt B sen(ωt +δ), Il campo E= IB/nebc ) senωt sen(ωt +δ),La d.d.p.
ΔV= (JBb/ne ) senωt sen(ωt +δ). Ma si ha facilmente senωt sen(ωt +δ)=cos δ-cos(2 ωt+ δ)=
cos δ+sen (2 ωt+ δ+π). Allora la d.d.p. di Hall è ΔV=(JBb/ne ) cos δ+ (JBb/ne ) sen (2 ωt+ δ-π/2), somma di una d.d.p. costante e di una alternata di frequenza doppia di quella della corrente sfasata rispetto ad essa di δ-π/2.
Si osserva che per δ=π/2 la componente costante si elimina e si ha
ΔV= (JBb/ne ) sen (2 ωt)