sull'esponenziazione di gruppi finiti
Inviato: 18 mar 2005, 09:19
Posto qua perché è un problema abbastanza semplice ma non banale. Magari qualcuno di voi conosce risultati noti a riguardo...
Sia p un numero primo dispari
Prendiamo l'omomorfismo $ 2^\cdot:\mathbb{Z}_p\to\mathbb{Z}_{p}^{\star} $, che agisce nel seguente modo: $ a \mapsto 2^a \mod p $.
Ovviamente questo omomorfismo va in $ \mathbb{Z}_p^\star $, visto che il gruppo che otteniamo è un gruppo moltiplicativo e $ kp \neq 2^m \quad \forall k,m \in \mathbb{Z} $. Inoltre il gruppo che otteniamo è abeliano.
La mia domanda è: cosa si sa sulla dimensione dell'immagine?
Per calcolare la dimensione dovrebbe essere utile il 1° teorema di omomorfismo. Il problema diofanteo è proprio calcolare il nucleo dell'omomorfismo... Quindi:
PROBLEMA
Quante soluzioni ha l'equazione diofantea $ 2^n \equiv_p 1 $?
Una soluzione è banale $ n = p-1 $. Inoltre, ogni altra soluzione divide $ p-1 $, per il teorema di Lagrange.
Altro parziale risultato: per i numeri primi di Mersenne della forma $ 2^m - 1 $, la dimensione dell'immagine è esattamente m poiché $ 2^m \equiv_{2^m -1} 1 $ e per ogni $ n < m $, $ 2^n < 2^m -1 $.
Ma allora avremo anche che $ m | 2^m - 2 $ e in particolare si verifica una delle seguenti:
m è primo e $ 2^m - 2 = 2m $ (come ne caso in cui m = 3, non so se ce ne sono altri...).
Altrimenti $ 2^{m-1} - 1 $ non è primo se $ 2^m-1 $ è primo
A prescindere dalla domanda, mi pare già interessante questo risultato.
Sapete qualcosa di più?
Sia p un numero primo dispari
Prendiamo l'omomorfismo $ 2^\cdot:\mathbb{Z}_p\to\mathbb{Z}_{p}^{\star} $, che agisce nel seguente modo: $ a \mapsto 2^a \mod p $.
Ovviamente questo omomorfismo va in $ \mathbb{Z}_p^\star $, visto che il gruppo che otteniamo è un gruppo moltiplicativo e $ kp \neq 2^m \quad \forall k,m \in \mathbb{Z} $. Inoltre il gruppo che otteniamo è abeliano.
La mia domanda è: cosa si sa sulla dimensione dell'immagine?
Per calcolare la dimensione dovrebbe essere utile il 1° teorema di omomorfismo. Il problema diofanteo è proprio calcolare il nucleo dell'omomorfismo... Quindi:
PROBLEMA
Quante soluzioni ha l'equazione diofantea $ 2^n \equiv_p 1 $?
Una soluzione è banale $ n = p-1 $. Inoltre, ogni altra soluzione divide $ p-1 $, per il teorema di Lagrange.
Altro parziale risultato: per i numeri primi di Mersenne della forma $ 2^m - 1 $, la dimensione dell'immagine è esattamente m poiché $ 2^m \equiv_{2^m -1} 1 $ e per ogni $ n < m $, $ 2^n < 2^m -1 $.
Ma allora avremo anche che $ m | 2^m - 2 $ e in particolare si verifica una delle seguenti:
m è primo e $ 2^m - 2 = 2m $ (come ne caso in cui m = 3, non so se ce ne sono altri...).
Altrimenti $ 2^{m-1} - 1 $ non è primo se $ 2^m-1 $ è primo
A prescindere dalla domanda, mi pare già interessante questo risultato.
Sapete qualcosa di più?