Circonferenze a tutta forza!

[Poliwhirl]

Oggi la mia attenzione si è posata su un problema della prova per la borsa di studio offerta dall'Indam ai neo-laureandi in Matematica (anno 2002); ecco il testo:
Problema #1: Siano $ a $ e $ b $ due circonferenze di centri $ A $ e $ B $ (rispettivamente) e tangenti esternamente nel punto $ T $. Sia $ t $ la tangente in comune passante per $ T $ e sia $ r $ un'altra retta tangente ad entrambe le circonferenze nei punti $ A' $ e $ B' $ (rispettivamente). Infine sia $ P $ il punto di intersezione fra $ r $ e $ t $.
(i) Dimostrare che $ P $ è il punto medio del segmento $ A'B' $.
(ii) Dimostrare che l'angolo $ \widehat{APB} $ è retto.
(iii) Dimostrare che l'angolo $ \widehat{A'TB'} $ è retto.
(iv) Dimostrare che la circonferenza avente diametro $ AB $ è tangente alla retta $ r $. Qual è il punto di tangenza?

Non è difficile . Buona risoluzione.

Bye,
#Poliwhirl#

[Loth]

(i): per il Teo delle due tangenti si ha che
$ PT = PA' $ e che
$ PT = PB' $, di conseguenza: $ PB' = PA' $.

(ii): per lo stesso Teorema, si ha che $ \widehat{A'PA} = \widehat{APT} $ e che $ \widehat{TPB} = \widehat{BPB'} $. I quattro angoli citati formano un angolo piatto, quindi $ \widehat{APT} + \widehat{TPB} $ ne formano uno retto.

(iii): per il solito Teorema, i triangoli A'PT e TPB' sono isosceli di basi A'T e TB' e di angoli alla base $ \alpha $ e $ \beta $ rispettivamente. Considerando il triangolo A'TB', i suoi angoli interni sono uguali a $ 2\alpha + 2\beta $, quindi $ \widehat{A'TB'} = \alpha + \beta $ e' retto.

(iv): (ci devo pensare)

Edit: corrette le lettere

[Poliwhirl]

(i): per il Teo delle due tangenti si ha che
$ PL = PA' $ e che
$ PL = PB' $, di conseguenza: $ PB' = PA' $.

Tutto ok, Loth. Hai solo confuso un paio di lettere...puoi correggere quelle $ L $ con le dovute $ T $? Thanks...

Bye,
#Poliwhirl#

[Poliwhirl]

Intanto aggiungo questa domanda, da me inventata:
Bonus question: trovare, nella figura data, il maggior numero di quadrilateri inscrivibili in una circonferenza.


Bye,
#Poliwhirl#

[karl]

Essendo APB=90° la crf. di diametro AB (e centro O) passa per P ;
inoltre P e' punto medio di A'B' ed O e' punto medio di AB.
Ne segue ( per il reciproco di Talete) che OP e' parallelo ad AA' ( e a BB' )
e pertanto OP e' perpendicolare ad r e cio' prova che la crf(AB)
e' tangente ad r in P.

[thematrix]

IV)se $ M $ è il punto medio di $ AB $,è anche il centro di tale circonferenza.La distanza di $ M $ da $ A'B' $ è $ MP $,in quanto $ 2A'P = A'B' $ e $ 2AM = AB $,per cui $ MP $ è parallelo a $ BB' $,e perciò forma un angolo di $ 90° $ con $ A'B' $.Ora,poichè $ MP $ è esattamente in mezzo a $ AA' $ e $ BB' $,si ha $ MP = \frac{AA' + BB'}{2} = \frac{AB}{2} $,per cui $ MP = AM = BM $.Dunque $ MP $ è il raggio della circonferenza e $ r $ la sua tangente,e il punto di tangenza è $ P $

[Loth]

Tutto ok, Loth. Hai solo confuso un paio di lettere...puoi correggere quelle $ L $ con le dovute $ T $? Thanks...

Hai ragionissima, e' solo che mi ero fatto il disegnino con Kseg e avevo sbagliato a letterarlo Ora ho corretto.

[Poliwhirl]

up!

Bonus question: trovare, nella figura data, il maggior numero di quadrilateri inscrivibili in una circonferenza.