OliForum Matematico

Sia dato un tubo ad U. Tale tubo è disposto "verticalmente", in modo che la curva della U stia in basso.

All'interno del tubo vi è un fluido ideale con viscosità nulla. Sappiamo che la posizione di equilibrio è quella in cui il livello del fluido nei due bracci è alla stessa altezza (vasi comunicanti).

Se però sposto il fluido in modo che in un braccio della U il fluido sia più in alto, questo inizierà ad oscillare attorno alla posizione di equilibrio.

Domanda: qual è la pulsazione naturale di questo sistema vibratorio?

Provo a rispondere (se ci riesco... ).

Chiamo h la mezza differenza di altezze, avrò allora che il tubo più alto eserciterà una forza $ h \rho g $ rispetto alla posizione di equilibrio.
La forza con cui verranno accelerate le estremità del liquido sarà:

$ m \frac {d^2 h} {d t^2 } = 2 h \rho g A $

Ovviamente m è con buona approssimazione $ 2 H A \rho $, dove H è l'altezza a riposo ed A è la sezione del tubo.

Risolvi sta equazione differenziale (io non lo faccio perché non ne sono capace, ma prometto che adesso vado a vedermi la teoria), te la trovi in forma sinusoidale se si può fare ed ottieni omega.

Si può risolvere il tutto con un metodo molto più semplice... senza andare a scomodare le ODE

una piccola nota alla soluzione di bh3u4m (una cosa che può essere utile per le olifis, soprattutto per chi non conosce le eq. differenziali).

Se abbiamo un'equazione differenziale del tipo:

$ \displaystyle { d^2 x \over dt^2} + kx = 0 $
k > 0

abbiamo un oscillatore armonico (sempre!). Ora possiamo riscriverla nella forma:

$ \displaystyle { d^2 x \over dt^2} = - \omega^2 x $

e quell'$ \omega $ è proprio la pulsazione del moto.

Io lo butto lì... Visto che è una situazione abbastanza ricorrente saperlo può essere utile (male di sicuro non fa :p)


[nota: bh3u4m hai sbagliato il segno nell'eq. differenziale: la forza è di richiamo, quindi di segno opposto rispetto alla variazione di altezza]

per bh3u4m:

Ho trovato alcune imprecisioni.

h*rho*g non è una forza, ma una pressione.

2H*rho*g non è una massa, ma una pressione.

in ogni modo si può porre la colonna di fluido intera lunga L.

Il 2 a secondo membro è giusto, ma non vedo la motivazione.

Come ha detto Alex_Zeta manca un meno.

Detto tutto ciò, nella formulazione del problema era ovvio che si giungeva ad una soluzione di tipo armonico (pulsazione naturale), quindi con un metodo energetico, senza ODE, si arriva alla soluzione.

ciao!
[/img]

OK... mi ero distratto nello scriverlo, ma ora ho rimediato.
Il segno meno non è necessario a mio parere.

O_o

come non è necessario?!
Prova a risolvere quell'equazione differenziale col segno +... ti viene tutto fuorché un moto armonico!

(più precisamente dovrebbe venire una somma di esponenziali)

Il segno meno ci vuole eccome!

Cmq non ho ben capito la motivazione del 2 a secondo membro... puoi spiegarmela?

Se nessuno scrive il metodo "veloce" a cui facevo riferimento io, allora lo posterò fra qualche giorno.

Riguardo alla soluzione di bh3, per me era più intuitivo imporre la conservazione dell'energia più che usare il principio di D'Alembert come hai fatto tu. De gustibus...

Il 2 c'è perché h è la mezza delta altezza. 2h è così la variazione.