OliForum Matematico

mi rendo conto che i miei problemi di probabilità saranno una banalità rispetto a quelli già pubblicati... sono proprio agli inizi, perciò giustificatemi!!

qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questi due esercizi?

1)Giovanni e maria seguono un corso di matematica, il cui esame finale prevede solo tre punteggi: A,B e C. la probabilità che giovanni prenda B è pari a 0.3, la probabilità che maria prenda B è pari a 0.4, la probabilità che nessuno dei due prenda A ma almeno uno dei due prenda B è pari a 0.1. qual è la probabilità che almeno uni dei due prenda B ma nessuno prenda C?

2)Nel 1600, alcuni giocatori chiesero a Galileo Galilei di spiegare perché, nel lancio di 3 dadi, la somma 10 si presenti con maggiore frequenza di 9, nonostante sia 10 che 9 si possano ottenere come somme di 6 terne distinte de interi tra 1 e 6.
Verificare che effettivamente l’osservazione dei giocatori era fondata.

Per il primo problema: chiamiamo $ a_1 $, $ b_1 $, $ c_1 $ le probabilità che Maria prenda rispettivamente A, B o C; analogamente $ a_2 $, $ b_2 $ e $ c_2 $ per Giovanni (ovviamente si avrà $ a_1+b_1+c_1=a_2+b_2+c_2=1 $). Abbiamo perciò:
$ b_1 $ = 0,4
$ b_2 $ = 0,3
La probabilità che almeno uno dei due prenda B ma che nessuno prenda A è data dalla somma delle singole probabilità dei diversi casi che rispettano tale condizione, ovvero $ b_1c_2+b_1b_2+c_1b_2 $; analogamente la probabilità richiesta dal problema sarà data da $ b_1a_2+b_2a_1+b_1b_2 $, quantità che chiameremo $ k $. Osserviamo ora che la somma delle probabilità di tutte le possibili combinazioni di voti dovrà essere pari a 1, ovvero $ a_1a_2+a_1b_2+...+c_1c_2=(b_1c_2+b_1b_2+c_1b_2) $$ +(b_1a_2+b_2a_1+b_1b_2)-b_1b_2+(a_1+c_1)(a_2+c_2)= $$ 0,1+k-0,12+(1-b_1)(1-b_2) $$ =k+0,42-0,02=k+0,4=1 $, da cui $ k=0, 6 $.

Per il secondo problema: le sei terne che permettono di ottenere 10 sono: 541, 532, 442, 433, 631, 622
Quelle che permettono invece di ottenere 9 sono: 621, 522, 531, 441, 432, 333
Consideriamo adesso ogni terna non più come combinazione ma come permutazione, ovvero contiamo ogni terna per il numero di diversi ordini in cui si possono presentare i numeri che la compongono; in questo modo otteniamo 27 diverse terne che danno come somma 10, mentre solo 25 che danno somma 9 (in particolare perché il 9 è dato dalla terna 333, che si presenta una sola volta anche cambiando l’ordine dei suoi elementi). È quindi per questo che si otterrà più facilmente una somma pari a 10, in quanto lanciando i dadi due terne formate dagli stessi numeri posti in ordine diverso sono da considerarsi distinte.

Impostandolo il primo problema "tutto di un botto", viene tranquillo. Ma qui sorge per me un assurdo:
Utilizzando la "notazione" di Jack Sparrow, abbiamo che
$b_1c_2 + c_1b_2 + b_1b_2 = 0.1$
Ma ecco l'assurdo:
$b_1c_2 + c_1b_2 + 0.12 = 0.1$
$b_1c_2 + c_1b_2 = -0.02$

e chiaramente, ciò è impossibile visto che i b_i e c_i sono ovviamente positivi. Sbaglio qualcosa..?