OliForum Matematico

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Questo es è stato proposto di sfuggita a Senigallia. La sol che ho trovato (spero corretta) non è difficile ma immagino ne esistano anche altre...
Lo propongo solo per sancire il mio abbandono dell'ambiente fisico (perlomeno fino a quando non mi metterò a studiare per il test normalista), visti i deludenti risultati...

provare che la produttoria

n(n+1)(n+2)...(n+k)

non è mai un quadrato perfetto...

saluti

Butto giù un idea per una dimostrazione parziale (spero corretta):
Sia $ \ n+k\geq\ 2n $ allora, per il postulato di Bertrand, esiste almeno un numero primo $ \ p $ compreso fra $ \ n $ e $ \ n+k $; in tal caso questo numero primo è un fattore isolato e la produttoria non può essere un quadrato. Se ho qualche altra idea vedrò di postarla presto....

premetto che anche la mia utilizza Bertrand (anche se non dubito che esistano altre sol)...

Detta così è un pò brutta (quel primo di cui dimostri l'esistenza potrebbe comparire due volte, una volta come primo e l'altra come fattore) ma si può sistemare o esprimere meglio perlomeno...


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cambio: sul caso k<n per ora non mi pronuncio, avendo trovato un errore nella mia dim.. ergo la gara è aperta anche per mè

mark86 ha scritto:Butto giù un idea per una dimostrazione parziale (spero corretta):
Sia $ \ n+k\geq\ 2n $ allora, per il postulato di Bertrand, esiste almeno un numero primo $ \ p $ compreso fra $ \ n $ e $ \ n+k $; in tal caso questo numero primo è un fattore isolato e la produttoria non può essere un quadrato. Se ho qualche altra idea vedrò di postarla presto....

Cosa ti garantisce che non arrivi tanto avanti da avere un altro fattore $ p $???

.... sia $ p^2 $ che $ 2p $ sono al di fuori dell'intervallo infatti
$ n<p<2n $ implica che $ n^2<p^2<4n^2 $ (con
$ n^2\geq\ 2n $ sse $ n\geq\ 2 $) e $ 2n<2p<4p $ .
Spero di non aver detto sciocchezze, questo dovrebbe dare validità a quello che ho scritto nel messaggio precedente

c'è qualcuno che garantisce una sol elementare per k<n?

Vi ricordo che se non siete sicuri che un problema abbia una soluzione olimpica, dovreste postarlo in matematica non elementare.

Nessuna novità per la dimostrazione?Io ho pensato che nel caso $ k<n $ allora ci sono due possibilità: Se esiste almeno un numero primo il problema si riconduce a quanto detto prima altrimenti si dovrebbe mostrare che gli esponenti di tutti i fattori non possono essere tutti pari, magari per assurdo... qualcuno conosce una tecnica che si potrebbe applicare?? Mi piacerebbe davvero leggere una soluzione completa...
Info, potresti dirci com'era la tua (anche se sbagliata), magari la scrivi in bianco; potrebbe essere uno spunto utile

mark86 ha scritto:.... sia $ p^2 $ che $ 2p $ sono al di fuori dell'intervallo infatti
$ n<p<2n $ implica che $ n^2<p^2<4n^2 $ (con
$ n^2\geq\ 2n $ sse $ n\geq\ 2 $) e $ 2n<2p<4p $ .
Spero di non aver detto sciocchezze, questo dovrebbe dare validità a quello che ho scritto nel messaggio precedente

Attento! Detto così non torna. Piglia n = 3, k = 1000 e p = 5. Però se usi il PdB in maniera "furba"...

@tutti: vi faccio notare che nel caso k piccolo c'è qualcosa che non torna. k=0, n quadrato perfetto è un controesempio. Una dimostrazione che non ne tenga conto... probabilmente è incompleta.

Le limitazioni per k erano sottointese ... deve essere anche naturale, esattamente come n

Mi scuso per il mio errore ma era stato posto come problema facile... e ho fatto una svista! Altrimenti lo postavo da stè parti... Cmq per k>n rimane possibile con Bertrand...

su k<n non ho nulla di intelligente da dire, a parte il fatto che per trovare un assurdo si può supporre che ogni primo che compare là dentro deve essere <k oppure deve comparire con esponente pari...

non ci stò pensando al momento a dire la verità...

...suggerisco chi conosce questo problema di dire se la sol ufficiale è accessibile ai più, di modo che gli utenti si possano regolare...(e anche oggi ho fatto la mia buona azione )

Ieri HiTLeuLeR mi ha detto che è un problema famoso, e che Erdos ci mise 7 anni a risolverlo...

In verità, Bollazzo, Erdos affrontò e risolse, assieme a Selfridge, una questione decisamente più generale, provando che non esiste alcuna 4-upla $ (a,b,k,n) $ di interi positivi, con $ n > 1 $, tale che sia: $ a(a+1)\ldots(a+k) = b^n $. Seppure il problema generale presenta le sue significative difficoltà, com'è ragionevole supporre anche solo sulla base del tempo giust'appunto dedicatogli dalla veneranda accoppiata di cui ho detto, il caso $ n = 2 $ non dovrebbe poi essere troppo arduo, in verità. Personalmente, pur tuttavia, non ne sono ancora venuto a capo, ma questo (in vero) significa ben poco!!! Buon lavoro a tutti, dunque...

P.S.: fra l'altro, secondo alcune fonti, gli anni passati da Erdos e Selfridge sul problema sarebbero addirittura nove, e non sette...