OliForum Matematico

anche questo, ovviamente per i giovani:

Quanti sono i numeri che si scrivono in base 10 con cifre tutte diverse?

per tutti:
discutere anche il caso in base n, con n diverso da 10.

il numero 001 è il numero 1. i due 0 all'inizio non li contiamo, ovviamente. e quindi l'1 va bene.

Mi viene una cosa del tipo:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{b}\binom{b}{i}i!-\sum_{i=0}^{b-1}\binom{b}{i}i!=\binom{b}{b}b!=b! $

non mi pare. prova a spiegare un po' come ci sei arrivato.
io mi aspetterei un b-1, da qualche parte, per il semplice fatto che la prima cifra non può assumere tutti i valori ma solo b-1... ma non è solo quello. lo 0 conta, quindi almeno un +1 ci va. non mi pare che sia conteggiato nella formula, no?

controlla, và

Corretto, non avevo contato gli zeri!!!!

Boll ha scritto:Mi viene una cosa del tipo:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{b}\binom{b}{i}i!-\sum_{i=0}^{b-1}\binom{b}{i}i!=\binom{b}{b}b!=b! $

a parte che non capivo il risultato perché FF mi tagliava il ! finale...

non è giusto. in questo modo conti solo i numeri che hanno b e b-1 cifre (fai le permutazioni si b cifre. i numeri che cominciano con 0 hanno b-1 cifre e ce ne sono (b-1)!. i numeri che cominciano per cifra $ \neq 0 $, hanno b cifre, ma la prima può essere scelta solo tra b-1. quindi in tutto hai (b-1)*(b-1)!. sommando questi due valori hai proprio b!.
ma ci sono anche numeri di 2 cifre con tutte le cifre diverse.
invece di mettere una formula, scrivi il procedimento. Sinceramente, della formula non me ne frega proprio nulla... anche perché il concetto è semplice, scrivere bene la formula può rompere le scatole...
ciao!

sia n la base
il numero può essere formato da k cifre, con 1<=k<=n
chiamiamo P(t) il prodotto dei naturali compresi in senso largo tra 1 ed t
allora, per ogni k, si possono formare (n - 1)*P(n)/P(n - k), ad eccezione di k=1 che permette un intero in più, lo 0.
Qundi, (lo scrivo a parole chè non conosco il Latex) in definiva abbiamo che questo numero è dato dalla sommatoria di (n -1)*P(n)/P(n - k) per k che va da 1 a n, più 1.
Ha qualche possibilità di essere corretto?

[Corretto il post e cancellato quello superfluo. Nota per Singollo: puoi modificare un tuo messaggio già postato: basta cliccare su "modifica" (angolo nordest del tuo msg...). M.]

ok, questo va bene
comunque quella che tu chiami "prodotto in senso largo degli interi da 1 a t si chiama "fattoriale" e si indica con t!.

sono sicuro che era la stessa idea di Boll. bravi a entrambi!

adesso ci vuole solo qualcuno che scriva la soluzione in forma "matematica" (Boll, ora si che ci vogliono un po' di formule )

allora

in base n la prima cifra di un numero a k cifre può essere (n-1) cifre (eccetto nei numeri a una cifra ma per quelli basta mettere un +1 in fondo a tutto)...

il secondo (n-2)+1(lo zero)... quindi ancora n-1

il terzo n-2
n-3 e così via

quindi per un numero a in base n di k cifre il numero di numeri con cifre tutte diverse è
(n-1)*(n-1)!/(n-k)! (+1 se k=1)

quindi presa una base n il numero di numeri scrivibili con cifre tute diverse è

$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(n-1\right)*\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-k\right)!} + 1 $

ma su come calcolarlo meglio proprio non so...

+esattamente

$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left[\left(n-1\right)*\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-k\right)!}\right] $

è correttO?

mattilgale ha scritto:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left[\left(n-1\right)*\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-k\right)!}\right] $

è corretto?

a parte che non riesco a capire dove sia sparito il +1.
poi, per renderlo appena un po' più piacevole, si può sostituire quell'(n-k)! con un k!, visto che la sommatoria tiene in considerazione tutti i possibili denominatori.
per quanto riguarda il "togliere" quell'addendo +1: direi che è inevitabile, visto che lo 0 costituisce una eccezione a tutti gli effetti. è un numero che inizia per 0
tuttavia, essendo la sua unica cifra, lo inseriamo tra quelli buoni. oppure lo togliamo. non importa. basta chiarirsi. però se contiamo lo 0, allora il +1 ci deve essere.

io scriverei:
$ \displaystyle{(n-1)\cdot(n-1)!\cdot\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}} + 1 $

hai ragionassima
il +1 mi era sfuggito