OliForum Matematico

Altro esercizio tratto da "Pazzi pazzi numeri" di Ami Birenboim

"Arnie, mentre mescola i colori per il nuovo quadro che vorrebbe dipingere, versa del blu sul suo tavolino rotondo laccato di rosso, macchiandolo.
1. Provare che, se la lunghezza del bastone in figura è uguale al diametro del tavolo, potrebbe non essere possibile posare il bastone in modo tale che i suoi estremi si trovino su due zone di eguale colore.
2. Al contrario, dimostrare che un bastone la cui lunghezza sia inferiore al diametro del tavolo può sempre essere sistemato come descritto sopra."

Il primo punto è semplice.
La seconda parte è "simile" al problema proposto da Catraga.

Buon lavoro!

per il punto 1, se una semicirconferenza (della circ del tavolo) è blu e l'altra rossa, non è possibile sistemare il bastone perché i suoi estremi sono su semicirconferenze diverse. Per il punto 2... adesso ci penso su un po' meglio...

ah, suppongo che il tavolo si rotondo, dato che si parla di diametro...
allora, se il bastone è lungo meno di sqrt3 del raggio, gli estremi formano un (in realtà infiniti) triangolo all'interno del tavolo, i cui vertici sono evidentemente 3, e i colori sono due. Se il bastone è lungo più di sqrt3 del raggio, la cosa si complica. Ho pensato di dimostrarlo per assurdo. Se non fosse possibile, c'è un punto (diciamo) rosso nella corona circolare ...ops, finisco dopo cena...

1) bene per il primo punto

2) il tavolo è rotondo e c'è scritto

3) l'approccio al problema non è sbagliato, ma dovresti spiegare meglio il procedimento per individuare il triangolo.

ciao!

pazqo ha scritto: 1) bene per il primo punto

2) il tavolo è rotondo e c'è scritto

3) l'approccio al problema non è sbagliato, ma dovresti spiegare meglio il procedimento per individuare il triangolo.

ciao!

2)doh, è vero, mi era sfuggito... pardon

3) beh, un triangolo equilatero con i lati minori di sqrt3 del raggio dentro al cerchio lo posso sempre trovare, comunque male che vada,(per assurdo) prendo un punto rosso abbastanza vicino alla circonferenza e traccio un arco abbastanza ampio, i quali punti devono essere neri. però tracciando un arco da un punto nero dell'arco abbastanza vicino alla circonferenza, questi punti devono essere rossi, ma questi due archi si intersecano in un punto milanista: assurdo.
Per l'altro caso, ancora per assurdo: c'è un punto rosso sulla circonferenza, traccio l'arco di raggio il bastone, che dev'essere nero, in senso orario, fino a quando interseco la circonferenza. Da questo punto traccio un altro arco con stesso raggio nello stesso verso, e dev'essere rosso. Vado avanti fino a quando un arco nero intersecherà il primo arco rosso da dove sono partito. C'è un punto milanista: assurdo.
Che dici?

bravo, molto molto bravo.


è la esattamente la stessa idea avuta dall'autore!

al prossimo quesito!