OliForum Matematico

Dimostrare che per ogni serie di reali limitata, esiste una sottoserie (e' cosi' che si dice?) convergente.

Attento ai termini!

In generale, solitamente non si dice che "una serie è limitata", ma si dice che una successione è limitata. Forse intendi dire che "la successione delle somme parziali" (=la somma del primo termine, dei primi due, dei primi tre, ecc...) è limitata.

Una "sottoserie" non è una cosa ben definita: potrebbe essere
- una sottosuccessione di serie parziali?
- la serie di una sottosuccessione?

Nel primo caso, direi che l'enunciato è vero. Nel secondo è falso (chi trova un controesempio?).

L'enunciato "giusto" ripulito (la cui dimos si trova su tutti i libri di Analisi I) è:

Da una successione reale limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione che converge.

Ehm, si' in effetti e' proprio quello che intendevo. Il mio libro purtroppo e' in inglese e non sono mai sicuro di come si traduca. Comunque non pensavo che fosse un risultato cosi' importante da essere riportato in tutti i libri di testo...

Se mai studierai topologia questo risultato ti verra' propinato in tutte le salse.

Basta fare un po' di analisi...

Ma facendo solo un po' di analisi non lo vedi in tutte le salse!
Lo chiami teorema di Bolzano-Weierstrass e basta.

In topologia invece lo usi in correlazione con la compattezza, e fai vedere che è equivalente ad un po' di altre cose...