Un mio amico mi ha dato questo problema (specificando che è famosissimo, quindi scusatemi se l'avete già postato nel vecchio forum); credo di averlo anche risolto, ma aspetto una soluzione dei big per averne la conferma:
Dimostrare che, dati cinque punti su un piano, tra i quali non ve ne siano tre allineati, quattro di essi formano sempre un quadrilatero convesso.
Quadrilateri convessi
Quadrilateri convessi
Thanks to Joim
Aspettando la soluzione dei big, ne posto una mia molto poco formale, per sapere quanto e' da considerare sbagliata.
Prendo come ipotesi il fatto che 5 punti a 3 a 3 non allineati formano un pentagono ABCDE che puo' essere
1)convesso, in questo caso togliendo un vertice qualunque si otterra' un quadrilatero convesso -> tesi
2)concavo:
1)"in un solo vertice", ovvero tra tutti i segmenti che congiungono due vertici ce n'e' uno solo (poniamo: AC) esterno al poligono. In questo caso il quadrilatero ACDE risulta convesso -> tesi
2)"in due vertici", ovvero tra i segmenti che congiungono i vertici ben tre (poniamo: AC,BD,AD) esterno al pentagono. In questo caso il quadrilatero ABCD e' convesso -> tesi
Prendo come ipotesi il fatto che 5 punti a 3 a 3 non allineati formano un pentagono ABCDE che puo' essere
1)convesso, in questo caso togliendo un vertice qualunque si otterra' un quadrilatero convesso -> tesi
2)concavo:
1)"in un solo vertice", ovvero tra tutti i segmenti che congiungono due vertici ce n'e' uno solo (poniamo: AC) esterno al poligono. In questo caso il quadrilatero ACDE risulta convesso -> tesi
2)"in due vertici", ovvero tra i segmenti che congiungono i vertici ben tre (poniamo: AC,BD,AD) esterno al pentagono. In questo caso il quadrilatero ABCD e' convesso -> tesi
Anch'io ho ragionato così, tuttavia non riesco a dimostrare che nel terzo caso (due punti interni agli altri) si forma sempre un quadrilatero convesso. Cioè, vedo che esiste sempre e che è formato dai due punti interni e da altri due, ma non capisco il motivo.
Comunque (se regge in questo punto) mi sembra sia giusta, anche se probabilmente esiste una soluzione molto più... diciamo... elegante...
Comunque (se regge in questo punto) mi sembra sia giusta, anche se probabilmente esiste una soluzione molto più... diciamo... elegante...
Thanks to Joim
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MindFlyer
Si può fare così:
nell'ultimo caso abbiamo un triangolo con 2 punti all'interno. Considerando la retta che passa per questi 2 punti, se essa è parallela ad un lato del triangolo, è fatta (possiamo formare un trapezio). Altrimenti intersecherà ogni lato del triangolo, oppure un suo prolungamento. In particolare, intersecherà almeno un prolungamento di un lato (in realtà ne interseca esattamente uno). Allora, i vertici di questo lato insieme ai 2 punti interni formeranno un quadrilatero convesso.
nell'ultimo caso abbiamo un triangolo con 2 punti all'interno. Considerando la retta che passa per questi 2 punti, se essa è parallela ad un lato del triangolo, è fatta (possiamo formare un trapezio). Altrimenti intersecherà ogni lato del triangolo, oppure un suo prolungamento. In particolare, intersecherà almeno un prolungamento di un lato (in realtà ne interseca esattamente uno). Allora, i vertici di questo lato insieme ai 2 punti interni formeranno un quadrilatero convesso.