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Trovare tutte le funzioni
$ f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} $
tali che
$ 3f(x)-2f(f(x))=x $ per ogni $ x\in \mathbb{Z} $

Un caso banale:
f(x) = x

Più in generale
f(x) = kx

$ 3kx-2 k^2 x = x $
e si trova k = 1 e k = 1/2...

1/2 non è in Z

Sì, ok forse anche l'unico... Ma devi determinarle tutte e sole

Se f(x) è una funzione polinomiale dev'essere di grado non superiore al primo, altrimenti avremmo una sottrazione fra polinomi di diverso grado.

Nessuno ha detto che era polinomiale...

Ehm... mi pare un procedimento troppo assurdo per essere corretto, ma lo scrivo perchè è in ogni caso divertente... Si trova una formula del tipo (si fanno i casi piccoli e si induziona):

f^k (m)=[ (2^k-1)*f(m) - [2^(k-1)-1]*m ] / 2^(k-1)

la funzione è surgettiva (corretto?) come è evidente dal testo,
quindi 2^(k-1) divide tutta quella roba per ogni k [dico questo per verificare l'esistenza della funzione k-esima che dà come ris un numero relativo]

2^(k-1) / [ (2^k-1)*f(m) - [2^(k-1)-1]*m ]

svolgendo i calcoli si riduce la divisibilità sopra in

2^(k-1) / m-f(m)

e questo è valido per ogni k naturale. Ma il numero m-f(m) è costante, quindi l'unica è m=f(m). Ripetendo questo ragionamento per un qualsiasi numero:

x-f(x)=0-->f(x)=x...

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lo sai Boll che alla fine quell'orientamento on-line non andava? Che paccoooo!

La tua soluzione mi pare corretta info, non è per niente assurdo il tuo procedimento...

Simo_the_wolf ha scritto:non è per niente assurdo il tuo procedimento...

Anzi, è una soluzione da manuale. Complimenti.
--f