OliForum Matematico

Siano m ed n due numeri interi.
Sia A un insieme di n numeri interi positivi diversi da 0, la cui media sia minore o uguale ad (m+1).
Sia B un insieme di m numeri interi positivi diversi da 0, la cui media sia minore o uguale ad (n+1).
Provare che si può trovare un sottoinsieme di A ed un sottoinsieme di B tali che:
* la somma degli elementi di A sia uguale a quella degli elementi di B;
* siano entrambi diversi dall'insieme vuoto ;

ehm: forse andava messo nel forum "combinatoria"... va bè...sempre numeri sono...fate voi...

info ha scritto:Siano m ed n due numeri interi.
Sia A un insieme di n numeri interi positivi diversi da 0, la cui media sia minore o uguale ad (m+1).
Sia B un insieme di m numeri interi positivi diversi da 0, la cui media sia minore o uguale ad (n+1).
Provare che si può trovare un sottoinsieme di A ed un sottoinsieme di B tali che:
* la somma degli elementi di A sia uguale a quella degli elementi di B;
* siano entrambi diversi dall'insieme vuoto.

Siano $ m = n = 1 $, $ A := \{1\} $ e $ B := \{2\} $. Se $ \mu_A $ e $ \mu_B $ denotano, rispettivamente, la media aritmetica degli elementi di $ A $ e di $ B $, allora $ \mu_A = 1 $ e $ \mu_B = 2 $. Dunque: $ \mu_A \leq (m+1) $ e $ \mu_B \leq (n+1) $; $ A $ e $ B $ sono inoltre ambedue sottoinsiemi di $ \mathbb{N}_0 $. Pur tuttavia non soddisfano la condizione espressa nella consegna del problema. Domanda: dov'è che mi sbaglio?!?

Ehm... mi dispiace HitlEuler... la fonte è un elenco di problemi on-line che sto cercando di fare per imparare qualcosa...

http://www.geocities.com/CollegePark/Lo ... /comb.html

Ne ho fatti un pò sparsi a simpatia... stavo vincendo 8 - 1, ma sul 10° avevo poche idee... se riesci a modificare il testo ed a risolverlo fammi sapere ... dato che il livello degli es mi pare variabile (basti vedere il 12), non sò stimare la difficoltà, magari è difficile o magari è una cavolata! In ogni caso dovrebbero essere tutti risolvibili in modo "olimpico"...

ci sono un po' di pasticci con gli indici anche sul sito. sembrerebbe che entrambi gli insiemi abbiano n elementi. ma mi pare strano, visto che m non avrebbe nessuna funzione.
piuttosto, direi che è sufficiente supporre n,m>1

non ho provato, ma qualcosa mi dice che è così...

A costo di sembrare "ripetitivo" e/o scarsamente fantasioso...

pazqo ha scritto:[...] direi che è sufficiente supporre n, m > 1 [...] non ho provato, ma qualcosa mi dice che è così...

Siano $ m = n = 2 $, $ A := \{1, 5\} $ e $ B := \{b_i\}_{i=1}^{2} $, ove $ b_1 = b_2 := 2 $. Se $ \mu_A $ e $ \mu_B $ denotano, rispettivamente, la media aritmetica degli elementi di $ A $ e di $ B $, allora $ \mu_A = 3 $ e $ \mu_B = 2 $. Dunque: $ \mu_A \leq (m+1) $ e $ \mu_B \leq (n+1) $; $ A $ e $ B $ sono inoltre ambedue sottoinsiemi di $ \mathbb{N}_0 $. Pur tuttavia non soddisfano la condizione espressa nella consegna del problema.

Ora, io pure sostengo di "sentire le voci", tant'è che a breve finirò rinchiuso a Villa Ramirez, ma di solito - onde evitarmi di spararle troooppo grosse - cerco sempre di verificarne... ahmmm... l'attendibilità!?!

Da notare che ambedue i controesempi che ho presentato nei precedenti interventi sul topic non sono più ammissibili quando si assuma che le disuguaglianze indicate nella traccia del problema proposto da info s'intendano verificate in senso stretto... Che sia l'interpretazione corretta? Tsk tsk, booooh... Toc toc, ci siete? Dico a voi, matematici di tutto il mondo, dateci il vostro parere, FATECI SAPERE!!! Nos pendere ore vestro...