OliForum Matematico

Dedicato a quelli che vogliono problemi un po' più facili del solito
Non fustigatemi per la storiella... :D


Benito e Luca sono in castigo, la maestra gli ha dato la seguente punizione:
Entrambi hanno una borsa con infinite monetine e ve ne è un'altra fra loro, dopo che entrambi hanno messo un numero a caso di monetine nella borsa, ogni volta che mettono un quantitativo di monetine, devono mettere esattamente la somma dei quantitativi messi da entrambi nelle due aggiunte precedenti. Devono inoltre (e che punizione sarebbe sennò) registrare il numero di monete nella borsa in mezzo di volta in volta. A un certo punto Luca fa, prima di una mossa di Benito:
-"Solo contando le monetine che ci sono adesso nella borsa so già quante ne metterò io"
e Benito risponde:
-"Io so già dirtelo solo contando quante mosse abbiamo già fatto"

Dimostrare che entrambi hanno ragione

Ma si intende che entrambi conoscono il numero di monete che hanno messo all'inizio nella borsa?

Sì, entrambi "vedono e segnano tutto"

Boll ha scritto: devono mettere esattamente la somma dei quantitativi messi da entrambi nelle due aggiunte precedenti

Ho un dubbio. Intendi le ultime due aggiunte in assoluto, o le ultime due aggiunte di Luca più le ultime due aggiunte di benito?

Se ho ben capito, e non mi giocherei la pellaccia, se Benito inizia con a e Luca con b, Benito metterà (a+b), Luca a+2b, Benito 2a+3b: si ottiene la successione di Fibonacci, e ogni n-esima aggiunta Benito (se n è dispari) o Luca (con n pari) ogni ragazzo dovra aggiungere una somma che ammonta a ka+jb, dove
j è l'ennesimo termine della successione e k quello che lo precede: nel caso a=b, l'ammontare della somma da inserire è pari a a*l, dove l=k+j.
Questo sempre se non ho interpretato male...
Whow, alle 11 non connetto più: scusate se è incasinato: per ora è una bozza con credo parecchi errori, quindi chiedo scusa ai puristi dell'ordine e della precisione

ho ben poco tempo, quindi sparo qua e là qualche ideuzza per la prima affermazione: se l'ammontare della somma è pari a aX+b(Y-1), dove X e Y sono due elementi consecutivi della successione di Fibonacci.
L'uomo deve immettere una quantità pari a Za+Xb (dove Z+X=Y).
Sapendo che per ogni terna X, Y, Z di consecutivi della successione di Fibonacci Z<2*Y, si sa che la somma nella borsa è compresa fra aX+bX=X(a+b) e aX+2Xb=(a+2b)X e quindi X deve essere cercato nella progressione e deve esser compreso fra T/(a+2b) e T/(a+b).
è piuttosto incasinato, quindi credo che sia meglio operare su moduli e congruenze.

Singollo ha scritto:

Boll ha scritto: devono mettere esattamente la somma dei quantitativi messi da entrambi nelle due aggiunte precedenti

Ho un dubbio. Intendi le ultime due aggiunte in assoluto, o le ultime due aggiunte di Luca più le ultime due aggiunte di benito?

in assoluto

Aspetta, ma possono mettere le monete contemporaneamente?

No, uno alla volta

HumanTorch ha scritto:Se ho ben capito, e non mi giocherei la pellaccia, se Benito inizia con a e Luca con b, Benito metterà (a+b), Luca a+2b, Benito 2a+3b: si ottiene la successione di Fibonacci, e ogni n-esima aggiunta Benito (se n è dispari) o Luca (con n pari) ogni ragazzo dovra aggiungere una somma che ammonta a ka+jb, dove
j è l'ennesimo termine della successione e k quello che lo precede: nel caso a=b, l'ammontare della somma da inserire è pari a a*l, dove l=k+j.
Questo sempre se non ho interpretato male...
Whow, alle 11 non connetto più: scusate se è incasinato: per ora è una bozza con credo parecchi errori, quindi chiedo scusa ai puristi dell'ordine e della precisione

Okok, l'idea c'è, tuttavia se tu formalizzassi meglio:

1) il fatto che effettivamente $ k $ e $ j $ occupano il posto che dici nella successione di Fibonacci
2) la formula per cui si può effettivamente trovare il numero delle monetine che metterà Luca in funzione di $ a $ e $ b $ e numero di mosse

sarebbe meglio e più comprensibile a tutti

HumanTorch ha scritto:ho ben poco tempo, quindi sparo qua e là qualche ideuzza per la prima affermazione: se l'ammontare della somma è pari a aX+b(Y-1), dove X e Y sono due elementi consecutivi della successione di Fibonacci.
L'uomo deve immettere una quantità pari a Za+Xb (dove Z+X=Y).
Sapendo che per ogni terna X, Y, Z di consecutivi della successione di Fibonacci Z<2*Y, si sa che la somma nella borsa è compresa fra aX+bX=X(a+b) e aX+2Xb=(a+2b)X e quindi X deve essere cercato nella progressione e deve esser compreso fra T/(a+2b) e T/(a+b).
è piuttosto incasinato, quindi credo che sia meglio operare su moduli e congruenze.

Mmh, sempre che la mia soluzione sia giusta (il problema l'ho "inventato" io) esiste proprio una formula che esprime il quantitativo che deve mettere Luca in funzione di "somma totale che c'è ora", $ a $ e $ b $ nella tua notazione, cioè i due quantitativi iniziali