d(n) dei quadrati
d(n) dei quadrati
Dimostrare che, dato n intero positivo, questo ha un numero dispari di divisori sse è un quadrato.
"Bisogna vivere come si pensa, se no, prima o poi, ci si troverà a pensare come si è vissuto"
Paul Borget
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HumanTorch
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Se indichiamo tutti i divisori di un numero ponendoli in fila in ordine crescente, si nota che, se abbiamo n divisori, il prodotto di due divisori che occupano posti simmetrici rispetto al centro è pari al numero stesso: per farci capire
I divisori di 12 sono 1 2 3 4 6 12: 1*12=2*6=3*4=12.
Quindi, se si ha un numero dispari di divisori, poniamo 2n+1, il numero centrale per dare il numero iniziale, deve essere moltiplicato per il simmetrico nella successione di divisori, ossia per se stesso: quindi, se N è il numero iniziale, essendo pari anche a n^2, è un quadrato: sempre per essere più esaustivi:
N=16; Sequenza divisori= 1 2 4 8 16
16*1=2*8=4*4
I divisori di 12 sono 1 2 3 4 6 12: 1*12=2*6=3*4=12.
Quindi, se si ha un numero dispari di divisori, poniamo 2n+1, il numero centrale per dare il numero iniziale, deve essere moltiplicato per il simmetrico nella successione di divisori, ossia per se stesso: quindi, se N è il numero iniziale, essendo pari anche a n^2, è un quadrato: sempre per essere più esaustivi:
N=16; Sequenza divisori= 1 2 4 8 16
16*1=2*8=4*4
spuntino pomeridiano...
Sia $ n\in\mathbb{N}_0 $. Se $ n = 1 $, la tesi è banale, poiché $ 1 $ è un quadrato perfetto, e di fatto $ d(1) \equiv 1 \bmod 2 $. Sia dunque per il seguito $ n \geq 2 $. E allora, per il teorema fondamentale dell'Aritmetica, può porsi $ n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_r^{\alpha_r} $, ove $ r\in\mathbb{N}_0 $, $ p_1, p_2, \ldots, p_r $ sono primi naturali distinti e $ \alpha_k $ è un intero positivo, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, r $.
Ne consegue $ d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\ldots (\alpha_r + 1) $, cosicché $ d(n) \equiv 1 \bmod 2 $ sse, comunque scelto un $ k = 1, 2, \ldots, r $: $ \alpha_k + 1 \equiv 1 \bmod 2 $, ovvero $ \alpha_k \equiv 0 \bmod 2 $. In altri termini, $ d(n) $ è dispari sse esistono $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_r\in\mathbb{N}_0 $ tali che $ \alpha_k = 2\beta_k $, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, r $. In tal caso $ n = (p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_r^{\beta_r})^2 $, ed è dunque determinato $ m\in\mathbb{N}_0 $, essendo $ m := p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_r^{\beta_r} $, per cui $ n = m^2 $. Se ne conclude che $ d(n) $ è dispari sse $ n $ è un quadrato perfetto, q.e.d.
Ne consegue $ d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\ldots (\alpha_r + 1) $, cosicché $ d(n) \equiv 1 \bmod 2 $ sse, comunque scelto un $ k = 1, 2, \ldots, r $: $ \alpha_k + 1 \equiv 1 \bmod 2 $, ovvero $ \alpha_k \equiv 0 \bmod 2 $. In altri termini, $ d(n) $ è dispari sse esistono $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_r\in\mathbb{N}_0 $ tali che $ \alpha_k = 2\beta_k $, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, r $. In tal caso $ n = (p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_r^{\beta_r})^2 $, ed è dunque determinato $ m\in\mathbb{N}_0 $, essendo $ m := p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_r^{\beta_r} $, per cui $ n = m^2 $. Se ne conclude che $ d(n) $ è dispari sse $ n $ è un quadrato perfetto, q.e.d.