OliForum Matematico

Questo l'ho partorito in mattinata, divertitevi...

Problema #1: stabilire se esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che: $ n \mid \sigma_1(n) $.

Un click ben assestato per ricevere qualche informazione utile.

Nel sottocaso che la congruenza sia un'eguaglianza, si tratta di verificare il fatto che vi siano infiniti numeri perfetti.
Se non mi sbaglio ogni numero perfetto m è esprimibile come
[2^(n-1)]*[(2^n)-1],
dove 2^n-1 è primo: difatti la somma dei divisori ordine 1, detta S, è pari a [1+2+4+8+..+2^(n-1)]+[(2^n)-1]*[1+2+4+8+..+2^(n-1)]=
(2^n)*[(2^n)-1]=2*m: quindi, se m=m, m|(2*m), ovvero m|S per ogni numero perfetto.

Ma se non mi sbaglio non è stato provato che i numeri perfetti sono infiniti...
By the way, HumanTorch, usa LaTeX quando posti formule matematiche...

Infatti è come dice Vasya, non è stato dimostrato - ad oggi - ch'esistono infiniti numeri perfetti. Certo un tentativo apprezzabile, HumanTorch, ma sfortunatamente tutt'altro che risolutivo! Su, ritenta...

Ok, ecco qualcos'altro: sia A^a*B^b*C^c*D^d*.. il prodotto che conta 2n fattori primi A, B, C, D... e pari al numero in questione N.
La funzione "sommatoria dei divisori" è data da:

[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1]
______________________________________________________

(A-1)(B-1)(C-1)(D-1)...(M-1)

La dimostrazione si ricava dalla formula per la somma delle prime n potenze di m.
Ora:

A^a*B^b*C^c*D^d..M^m*(A-1)(B-1)(C-1)(D-1)...(M-1)|
[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1], ovvero
[A^(a+1)-A][B^(b+1)-B][C^(c+1)-C][D^(d+1)-D]..[M^(m+1)-M]|
[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1].
Quindi, posto F(N)=N^(n+1)-1, sia F(A)*F(B)*F(C)*F(D)*...F(M)=0 (mod N),
per l'omogeneità e la simmetria dell'espressione, si assuma che
A^a|[B^(b+1)-1]=>B^(b+1)=1 (mod A^a), il che è sempre vero se gcd(a,b)=1;
allo stesso modo procediamo con A, B, C...primi a due a due e con gcd(A,M)=1.
Da questo punto tirare le somme mi sembra facile...
Chiedo scusa per il disordine, ma qui il tempo scarseggia e devo scappare, e sto lentamente cominciando a far funzionare LaTeX .

HumanTorch ha scritto: [...] Ora, sappiamo che:
A^a*B^b*C^c*D^d..M^m*(a-1)(n-1)(c-1)(d-1)...(m-1) |
[A^(a+1)-1][B^(b+1)-1][C^(c+1)-1][D^(d+1)-1]..[M^(m+1)-1]

Debbo supporre che le tue intenzioni fossero di scrivere $ (A-1)(B-1)(C-1)(D-1)\ldots (M-1) $ ?!? E poi che significa quel tuo "sappiamo che"?!? Devo interpretarlo come un "vorremmo che..."?!? Me tapino, non ci sto a capi' nulla...

Ti odio definitivamente. Questo è una congettura aperta
http://oeis.org/A007691