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L'essere tornato a casa prima perchè non facevo l'individuale mi da almeno il vantaggio di postare questo simpatico problema, precedendo il "creatore" stesso ;):P

Problema
Sia $ k $ un intero, ora sia $ h $ un multiplo di $ k $, provare che:

$ \displaystyle \frac{h!}{\left(\frac{h}{k}\right)!\left(k!\right)^{h/k}} $ è anch'esso intero

Lemma #1: per ogni $ m,n\in\mathbb{N}_0 $: $ m! \mid (n+1)(n+2)\ldots (n+m) $.

Dim.: è banale! Infatti, per ogni $ m,n\in\mathbb{N}_0 $, il coefficiente binomiale $ \displaystyle{\binom{n+m}{m}} $ è un numero intero. Del resto, per definizione: $ \displaystyle \binom{n+m}{m} = \frac{(m+n)!}{m! \cdot n!} $ $ \displaystyle = \frac{(n+1)(n+2)\ldots (n+m)}{m!} $, sicché necessariamente $ m! \mid (n+1)(n+2)\ldots (n+m) $, q.e.d.

Boll ha scritto: Sia $ k $ un intero, ora sia $ h $ un multiplo di $ k $, provare che: $ \displaystyle \frac{h!}{(h/k)!\left(k!\right)^{h/k}} $ è anch'esso intero

Essendo $ h,k\in\mathbb{N}_0 $, supponiamo sia $ h $ divisibile per $ k $. E allora esiste $ n\in\mathbb{N}_0 $ tale che $ h = nk $. Ne seguita che: $ \displaystyle \frac{h!}{\left(h/k\right)!\left(k!\right)^{h/k}} = \displaystyle \frac{(nk)!}{n! \cdot (k!)^n} = $ $ \displaystyle \frac{\prod_{j=0}^{n-1} (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1)}{((k-1)!)^n} $.

D'altra parte, in base al lemma #1, per ogni $ j = 0, 1, \ldots, n-1 $: $ (k-1)! \mid (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1) $. Ergo $ ((k-1)!)^n \mid \prod_{j=0}^{n-1} (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1) $, e di qui l'asserto, q.e.d.

Nota: ho assunto si trattasse d'interi positivi, aspettando che Bollazzo mi dia conferma dell'intuizione...

Sì, ovviamente erano interi positivi. Lascio ad altri la geniale dimostrazione in 14 parole ed esattamente zero formule :D:D:D:D

Essì, in effetti la mia è indecente, sigh...

Naaaa, avrei scommesso che ci avresti messo moooolte più righe e lemmi per provarlo (e anche altri ). Sei stato anche ermetico, tutto sommato, ma quando vedrai la Soluzione, ti mangerai le dita

Orbene, tenterò di contenere l'ansia dell'attesa a forza di barbiturici e altri antidepressivi. Tu sai che fai?!? Corri alla pieve più vicina e accendi un cero anche per me: chissà che non possa addirittura superarmi! Nel frattempo, tuttavia...

Boll ha scritto:L'essere tornato a casa prima perchè non facevo l'individuale mi da almeno il vantaggio di postare questo simpatico problema, precedendo il "creatore" stesso [...]

...è troppo se ti chiedo di svelare il nome dell'artista del pensiero cui è dovuta tanta grazia?

P.S.: ci ho scritto "anche" perché almeno un altro cero, beh... dovresti accenderlo per te, Bollazzo mio.

A suo tempo, tutto ti sarà svelato

Boll ha scritto:L'essere tornato a casa prima perchè non facevo l'individuale mi da almeno il vantaggio di postare questo simpatico problema, precedendo il "creatore" stesso ;):P

Il creatore dovrei essere io? Te ne ringrazio... Per quelli che erano a Cesenatico un suggerimento potrebbe essere di ricordarsi la gara a squadre.
Per HiT suggerirei di non pensare da teorico dei numeri, ma da olimpionico della matematica...

La combinatorica è affascinante, ma la Teoria dei Numeri lo è di più, it's just my humble opinion...