Successioni e coprimalità
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HumanTorch
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Oltre che per induzione, si puo prendere un altro riferimento nella formula
$ \displaystyle\frac{a^{n+1}-1}{a-1} $ per la somma delle prime $ n $ potenze intere di $ a $, o lavorare nel sistema binario (dove il numero $ 111...11 $ rappresenta la somma delle potenze di $ 2 $ ed è pari a $ 1000..00-1=2^{n+1}-1 $, ma forse è un metodo poco elegante
)
$ \displaystyle\frac{a^{n+1}-1}{a-1} $ per la somma delle prime $ n $ potenze intere di $ a $, o lavorare nel sistema binario (dove il numero $ 111...11 $ rappresenta la somma delle potenze di $ 2 $ ed è pari a $ 1000..00-1=2^{n+1}-1 $, ma forse è un metodo poco elegante
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Davvero non serve affatto! La tesi è vera per $ n = 1 $, ché $ a_1 = 1 = 2^2 - 3 $. Ammettendone poi la consistenza per un generico $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ a_{n+1} = a_n + 2^{n+1} = 2^{n+1} - 3 + 2^{n+1} = 2^{(n+1)+1}-3 $. Di qui, per induzione, l'asserto.HiTLeuLeR ha scritto:Per induzione, mattilgale, considerando che, per ogni $ n\in\mathbb{N} $: $ 1 + 2 + \ldots + 2^n = 2^{n+1} - 1 $.