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Una funzione reale di variabile reale tale che:
f(a+b)=f(a)+f(b)
è sempre una retta passante per l'origine?

Sono sicuro che lo sia solo sui numeri razionali. Infatti:

n intero, a reale: f(n*a)=n*f(a);

f(a)=f(n*a/n)=n*f(a/n) quindi f(a/n)=f(a)/n ;

e quindi se q è un razionale f(q*a)=q*f(a);

f(a)=f(a+0)=f(a)+f(0) quindi f(0)=0;

Quindi f(q)=q*f(1);

Ora, si può dimostrare che f(r)=r*f(1) con r reale qualsiasi?

Vi chiedo, è sufficiente il fatto che un numero reale qualsiasi può essere rappresentato come sommatoria infinita e convergente di numeri razionali (l'esempio più ovvio è la rappresentazione decimale) ?

Noi due ne avevamo già discusso altrove, rargh... In ogni caso, vediamo di fissare una volta per tutte l'annosa questione! Temo tuttavia che finiremo ben al di là dei limiti del problem solving!

Fra le altre conseguenze dell'assioma della scelta vi è il fatto che l'insieme dei numeri reali, rivisto come spazio vettoriale sul campo razionale, è tale per cui esiste un suo sottoinsieme massimale $ \mathcal{B} := \{v_t\}_{t\in\mathcal{I}} $, essendo $ \mathcal{I} $ un insieme opportuno di indici, tale che ogni arbitrario $ x\in\mathbb{R} $ si possa esprimere, e in modo unico, mediante una combinazione lineare a scalari in $ \mathbb{Q} $ di una qualche "selezione" finita degli elementi di $ \mathcal{B} $, ossia mediante una rappresentazione della forma $ \displaystyle x = \sum_{k=1}^n x_k v_{t_k} $, ove $ n\in\mathbb{N}_0 $ e $ (t_1, t_2, \ldots, t_n) $ è un $ n $-sottoinsieme di $ \mathcal{I} $. Per inciso, $ \mathcal{B} $ viene detto una base di Hamel per $ \mathbb{R} $ (click).

Or dunque, introducendo una funzione arbitraria $ g(\cdot) $ definita su tutti e soli gli elementi di $ \mathcal{B} $ ed estendendo questa ad una seconda funzione $ f(\cdot): \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} $, costruita ponendo $ \displaystyle f(x) := \sum_{k=1}^n x_k g(v_{t_k}) $, nell'assunzione che la combinazione lineare a coefficienti razionali $ \displaystyle \sum_{k=1}^n x_k v_{t_k} $ rappresenti in modo univoco, secondo il teorema di Hamel, il generico $ x\in\mathbb{R} $, si può provare senza grossa difficoltà che $ f(\cdot) $ è soluzione dell'equazione funzionale di Cauchy di cui tu chiedi, rargh.

A questo punto, definendo $ g(\cdot) $ in modo tale che il rapporto $ \dfrac{g(v_t)}{v_t} $, esteso a tutti e soli gli elementi di $ \mathcal{B} $ (btw, $ 0\not\in \mathcal{B} $) non sia costante, si conclude che la corrispondente $ f(\cdot) $ non può essere lineare da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $. E quest'è quanto!

Ok, ho capito la tua dimostrazione, ma sapresti dirmi dov'è errata la conclusione che se: r=sum(qi) con i infinito, e f(qi)=a*qi, allora f(r)=a*r ?
Immagino sia un problema che venga dagli infiniti.

Benvenuto nel forum, rargh!
Btw, Fisico o Ingegnere?

rargh ha scritto:Ok, ho capito la tua dimostrazione, ma sapresti dirmi dov'è errata la conclusione che se: r=sum(qi) con i infinito, e f(qi)=a*qi, allora f(r)=a*r ?
Immagino sia un problema che venga dagli infiniti.

Semplicemente, stai supponendo la continuità di f.
La discussione si sta facendo OT, sposto il thread in Matematica non elementare.

Grazie, mindflyer.
Ho fatto il primo anno di fisica e poi sono passato a ingegneria elettronica.
Ho fatto un tentativo di ingresso alla normale che si è rivelato disastroso.
Sono venuto qui sperando che riusciste a chiarire definitivamente quel mio piccolo, unico dubbio.
Perché questi infiniti nelle sommatorie danno così tanti problemi???

rargh ha scritto:Perché questi infiniti nelle sommatorie danno così tanti problemi???

Perché si definiscono come limiti di successioni. E quindi sfavano.
La relazione f(a+b)=f(a)+f(b) coinvolge una coppia di numeri. Per induzione la puoi estendere a sommatorie finite. Ma, come ha dimostrato HiTLeuLeR, non puoi dedurre che valga anche per somme infinite.

Bellissimo il teorema di Hamel, può tornare molto utile.

Allora se è continua, o equivalentemente monotona, si dimostra che, definita la f(x) di prima, definiamo h(x)=f(x)-x*f(1), si dimostra con la scomposizioni in basi di hamel che h(q)=0 per q razionale.

Q è denso nei reali, se f è continua, h(x), detto c un razionale arbitrariamente vicino a x, h(x) è arbitrariamente vicina a 0, ed essendo continua, in quel punto deve valere 0. Q.E.D.

Se è monotona, allora prendiamo due razionali arbitrariamente vicini a x, a<b, con h(x) compreso tra il massimo e il minimo di h(a) e h(b). Ma h(a)=h(b)=0 quindi h(x)=0