OliForum Matematico

dunque alleniamoci un po':

Calcolare elementarmente :


$ \displaystyle \int\frac {sin\ 2x}{x } dx $


o si può fare solo con il metodo per serie?

Be' se l'integrale di sin(x)/x non è calcolabile elementarmente, non vedo perché dovrebbe essero sin(2x)/x, visto che si ottiene cambiando la variabile.
Lo so, sin(2x)=2sin(x)cos(x) ma non credo che serva a nulla.

ok elementarmente no. ma per serie come si procede?

p.s: come si fa a sapere che elementarmente non si puo' trovare la primitiva?

carro bestiame ha scritto:come si fa a sapere che elementarmente non si puo' trovare la primitiva?

Prima bisogna mettersi d'accordo su cosa si intende per "elementarmente".

Il metodo per serie consiste nello scrivere la funzione come serie di Taylor, ed integrare i termini della serie. Esiste un teorema che ci assicura che l'integrale della serie (definito come serie degli integrali degli addendi) coincide con l'integrale della funzione.

Purtroppo devo confessare che non conosco la dimostrazione che l'integrale di sinx/x non sia calcolabile elementarmente.
So è che è risaputo, tanto che viene usata nel corso di analisi come esempio di funzioni non integrabili elementarmente.
Ora per "non integrabile elementarmente" s'intende che la primitiva non è esprimibile come combinazione e/o composizione di un numero finito di funzioni elementari conosciute dall'analisi.

rargh ha scritto:Ora per "non integrabile elementarmente" s'intende che la primitiva non è esprimibile come combinazione e/o composizione di un numero finito di funzioni elementari conosciute dall'analisi.

So gia` quale sara` la prossima domanda: "Chi sono le funzioni elementari conosciute dall'analisi"?

Bé per esempio x^a con a reale, sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x), e^ax con a reale (o perché no, complesso), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x), ln(x)...anf anf....spero di averle dette tutte. Piuttosto qualcuno conosce una dimostrazione del perché non si può trovare una primitiva "elementare" di sin(x)/x ?

MindFlyer ha scritto: Prima bisogna mettersi d'accordo su cosa si intende per "elementarmente".

In verità non serve affatto: ci hanno pensato già i *Matematici* a mettersi d'accordo in proposito...

rargh ha scritto:Bé per esempio x^a con a reale, sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x), e^ax con a reale (o perché no, complesso), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x), ln(x)...anf anf....spero di averle dette tutte. Piuttosto qualcuno conosce una dimostrazione del perché non si può trovare una primitiva "elementare" di sin(x)/x ?

Mi spiace, ma sei davvero ben lungi dall'averle dette tutte...

Vasya ha scritto:"Chi sono le funzioni elementari conosciute dall'analisi"?

Nella definizione di Shanks e Chow, tutte e sole le funzioni $ f(\cdot): X\subseteq \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} $, con $ X \neq \emptyset $, ottenute combinando e componendo un numero finito di volte, mediante le operazioni di campo (addizione, moltiplicazione ed estrazione di radice), le funzioni algebriche, le esponenziali, le logaritmiche e le loro inverse.

rargh ha scritto:[...] qualcuno conosce una dimostrazione del perché non si può trovare una primitiva "elementare" di sin(x)/x ?

Banalmente, il teorema di Liouville... Certo uno dei tanti, ma non uno qualsiasi!!!

HiTLeuLeR ha scritto:

MindFlyer ha scritto: Prima bisogna mettersi d'accordo su cosa si intende per "elementarmente".

In verità non serve affatto: ci hanno pensato già i *Matematici* a mettersi d'accordo in proposito...

Sì, ok, ma noi non siamo Matematici, con o senza asterischi, ed io conosco almeno 2 accezioni di "elementare". Di cui una, che è quella approvata da questo forum, esclude che un qualunque integrale sia calcolabile elementarmente (il che renderebbe insensata la richiesta iniziale di carro bestiame).

allora qualcuno che mi trova IN QUALUNQUE MODO la primitiva di quella f.ne?*


*richiedesi procedimento e non solo risultato = diffidare da Derive che servirà nel caso solo da verifica.

Poiché le primitive di una data funzione differiscono tutte per un'arbitraria costante additiva, possiamo ben dunque limitarci a ragionare della mappa $ \displaystyle\mbox{Si}(\cdot):\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}:x\mapsto\int_0^x \dfrac{\sin t}{t}dt $.

Poniamo $ \mathcal{I} := [0, x] $, se $ x \geq 0 $; $ \mathcal{I} := [x, 0] $, se $ x < 0 $. Dallo sviluppo in serie di Taylor-Mac Laurin del seno circolare, per ogni $ t\in\mathbb{R} $: $ \displaystyle\frac{\sin t}{t} = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k+1)!} $, e la serie di funzioni a secondo membro, dacché maggiorata in modulo dalla serie numerica convergente $ \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{|x|^{2k}}{(2k+1)!} $, quando $ 0 \leq t \leq |x| $, è totalmente convergente in $ \mathcal{I} $, e quindi ivi uniformemente convergente, per consistenza con il criterio di Weierstrass.

Tanto basta per concludere che la medesima serie di funzioni è pure integrabile termine a termine in $ \mathcal{I} $, cosicché in ultima analisi: $ \displaystyle\mbox{Si}(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^x (-1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k+1)!} dt $ $ \displaystyle= \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\cdot (2k+1)!} $. Uh, direi che ci siamo...

tu non sei umano

in ogni caso non c'è un procedimento meno teorico per il calcolo di quell'integrale?
Mi pare che hai trovato una formula per ricorrenza...

carro bestiame ha scritto:[...] in ogni caso non c'è un procedimento meno teorico per il calcolo di quell'integrale?

Cosa intendi quando parli del "calcolo"?!? Si è già discusso del fatto che non esiste alcun modo di esprimere quell'integrale per via di funzioni elementari dell'Analisi. Dunque che altro vai cercando?

carro bestiame ha scritto:Mi pare che hai trovato una formula per ricorrenza...

Ti sbagli! Quell'è *soltanto* una rappresentazione per serie della funzione seno integrale, tutto lì... Ad esempio si può usarla per stimare, con precisione arbitraria, il valore che la funzione anzidetta assume in corrispondenza di questo o quell'altro punto del suo dominio. Del resto, se ti chiedessi di calcolarmi con la precisione di 10 cifre decimali $ \sin 1 $, tu come procederesti, carro? E lascia stare calcolatrici e calcolatori...

carro bestiame ha scritto:tu non sei umano

Stai forse insinuando ch'io sia un macaco?