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Prima di un quadrato guarda un po' che ci sta
Inviato: 17 mag 2005, 19:33
da Boll
Dimostrare che, per ogni $ n\in\mathbb{Z} $
$ n^2-4n+3 $ è sempre il precedente di un quadrato perfetto
Inviato: 17 mag 2005, 19:38
da HumanTorch
$ (n-2)^2=n^2-4n+4 $, quindi $ n^2-4n+4-1=n^2-4n+3 $ antecede un quadrato perfetto.
Inviato: 17 mag 2005, 20:30
da HumanTorch
O anche, per induzione, notiamo che, sostituendo $ 0 $ all'espressione, il tutto funziona, essendo $ 3+1=4=2^2 $. Inoltre si sa che ogni numero dispari può essere visto come la differenza fra due quadrati consecutivi.
Inserendo due valori consecutivi anche nell'espressione $ n^2-4n+3 $, si ottiene che la loro differenza è pari a $ 2n-3 $, che ovviamente è dispari.
Pertanto, valendo la tesi per $ 0 $ e per ogni $ n>0 $, ma anche per ogni $ n<0 $ (difatti, se $ n<0 $ e $ m=-n $, la formula diviene $ m^2+4m+3 $, ed essendo $ m^2-4m+4 $ un quadrato, lo sarà anche $ m^2+4m+3 $), la tesi è dimostrata.
Inviato: 19 mag 2005, 14:09
da Biagio
ciao Bollazzo, spero che tu non abbia postato questo problema perchè non lo sapevi risolvere...
io e Lord siamo stupiti dall'effetto dei nostri insegnamenti
rifatti postando una disuguaglianza
Inviato: 19 mag 2005, 18:28
da Boll
Muhauhauhua, il problema me lo sono inventato, come anche la Diofanteina dell'altro post, quindi certo che lo sapevo fare
Ultimamente mi sto prodigando nel postare problemi di medio-bassa difficoltà (livello Archimede-Febbraio- Cese facile) perchè secondo me negli ultimi tempi si postano troppi problemi di livello medio-alto e quindi i nuovi utenti scappano via fortissimo spaventati.
La disuguaglianza arriva, nel frattempo tu prodigati nel leggere la mia soluzione a quella del giornalino, che ti porterà via molto tempo
:D, e, se per favore puoi, nel tradurre il tuo problema di Combinatoria, che non ci capisco niente
Inviato: 20 mag 2005, 07:55
da Marco
Boll ha scritto:Ultimamente mi sto prodigando nel postare problemi di medio-bassa difficoltà (livello Archimede-Febbraio- Cese facile) perchè secondo me negli ultimi tempi si postano troppi problemi di livello medio-alto e quindi i nuovi utenti scappano via fortissimo spaventati.
Bravo Boll!! Una
standing ovation per questo.
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Problemi facili per chi non è già al livello preIMO/IMO sono sempre ben accetti. Continua così!
Ciao. M.