Una diseguaglianza condizionata

[karl]

Dimostrare che risulta:
$ \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{2+\sqrt{bc}}+\frac{3}{3+\sqrt{ca}} \geq \frac{9}{4} $
dove a,b,c sono tre reali positivi soddisfacenti la condizione:
8a+9b+5c=12.

[info]

sperando di non aver sbagliato qualche segno nelle disuguaglianze, direi che non è difficile... Un'azione combinata di jensen (supportata dalla relativa derivata seconda) e AM-GM dovrebbe risolvere il tutto...

[lordgauss]

Prima o poi dovevo tentare di usare il Tex. L'ho fatto ora, e mi è venuto il mal di mare. Oltretutto la leggibilità è scarsa. Come cavolo è la storia del displaystyle (aut similia)? Per citar Viglietta, mi sfava.
$ \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{2+\sqrt{bc}}+\frac{3}{3+\sqrt{ca}} \geq \frac{1}{1+(a+b)/2}+\frac{2}{2+(b+c)/2}+\frac{3}{3+(c+a)/2} $ (AM-GM) $ =\frac{2}{2+a+b}+\frac{4}{4+b+c}+\frac{6}{6+c+a} $.
Si ha poi $ (\frac{2}{2+a+b}+\frac{4}{4+b+c}+\frac{6}{6+c+a}) $$ [6(2+a+b)+3(4+b+c)+2(6+c+a)] \geq(3\sqrt{12})^2=108 $ (CS).
Ma $ 6(2+a+b)+3(4+b+c)+2(6+c+a)=36+8a+9b+5c=48 $ ergo $ \frac{2}{2+a+b}+\frac{4}{4+b+c}+\frac{6}{6+c+a}\geq\frac{108}{48}=\frac{9}{4} $, da cui la tesi. Quando vale l'uguaglianza?

[Boll]

Ciao lord!!

Se tu mettessi

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle

all'inizio di ogni tuo intervallo LaTeX e mettessi in giro un pò di spazi sarebbe molto meglio

[Boll]

Quando vale l'uguaglianza?

Quando hai usato AM-GM supponi che l'uguaglianza valga sse $ a=b=c $ sennò vale il segno di maggiore stretto nella disuguaglianza successiva e te lo tiri dietro fino alla fine. Ma se fosse $ a=b=c $ avremmo che

$ 8a+9a+5a=12 $
$ 22a=12 $
$ \displaystyle a=\frac{6}{11} $
quindi avremo l'uguaglianza sse $ \displaystyle a=b=c=\frac{6}{11} $
Ma sostituendo si nota magicamente che l'uguaglianza non si ha nemmeno in questo caso, quindi non si avrà mai l'uguaglianza.

[karl]

Dopo la AM-GM ,usata da Lordgauss,si puo' usare la AM-HM (media armonica)
[1/x+1/y+1/z=>9/(x+y+z)]
che semplica un tantino il procedimento.