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trovare l'equazione della catenaria: ovvero, data una corda uniforme di massa $ M $, di lunghezza $ L $, inestensibile, di spessore approssimativamente trascurabile, i cui estremi sono fissati su uno stesso piano orizzontale, a distanza $ 2a < L $, dire qual è la forma che assume la corda.

Evito di postare l'equazione per lasciare spazio a chi si vuole cimentare nell'impresa... ma vorrei aggiungere una cosa. Mi sembra che questa equazione sia stata storicamente al centro di un dibattito matematico dovuto alla difficoltà della risoluzione del problema, sicuro che sia risolvibile piuttosto facilmente?????

dovrebbe/potrebbe venire fuori un'equazione differenziale, a variabili separabili... (almeno a me viene così)

E' un semplice esercizio di meccanica applicata da secondo anno d'ingegneria...

Disegniamo la corda come una linea curva simmetrica rispetto all’asse y e consideriamo un tratto dl di essa di peso ρdl con ρ=Mg/L peso specifico lineare della corda. Sul tratto dl tracciamo le tangenti destra e sinistra che presentano fra di loro un angolo quasi piatto. Queste tangenti formano con l’asse delle x un angolo θ quella in basso e θ+dθ l’altra. Osserviamo che le tensioni della corda nei lembi superiore ed inferiore di dl sono dirette come queste tangenti. Sia T la tensione nel lembo superiore e T+dT l’altra. Detti i, j i versori degli assi si ha per l’equilibrio del tratto dl
(T+dT)cos(θ+dθ) i + (T+dT)sen(θ+dθ) j- (Tcosθ i+Tsenθ) j) – ρdl j=0
Ovvero
(1) (T+dT)cos(θ+dθ)=Tcosθ
(2) (T+dT)sen(θ+dθ)-Tsenθ= ρdl
L’equazione (1) ci dice che le componenti orizzontali di T nei due lembi sono uguali in qualsiasi tratto. Detta quindi T0 la tensione nel punto più basso della corda ove si ha anche θ=0 deve essere
(3) Tcosθ= T0
La seconda equazione si può scrivere dividendo per dθ
[(T+dT)sen(θ+dθ)-Tsenθ]dθ = ρdl/dθ
Essendo T=T(θ) la seconda equazione si può scrivere come la derivata
[d(Tsenθ)]/dθ= ρdl/dθ
Ma per la (3) è T= T0/cosθ sostituendo

[d(T0tgθ)]/dθ= ρdl/dθ cioè
(3) dl/dθ=(T0/ρ)(1/cosθ)
ma dalla figura si ha dx=dl cosθ e dy =dlsenθ onde

dx/dθ=(dx/dl)*(dl/dθ)=cosθ (T0/ρ)(1/cosθ)= (T0/ρ)(1/cosθ)
dy/dθ=(dy/dl)*(dl/dθ)=senθ(T0/ρ)(1/cosθ)= (T0/ρ)(tg θ/cosθ)
integrando queste due ultime si ha

x=(T0/ρ)ln(1/cosθ+tgθ) +C
y=(T0/ρ)(1/cosθ)+ K
con C,k costanti da determinare
Nel punto più basso si ha θ=0 x=0 y= T0/ρ allora sostituendo segue che C=0 K=0

Le equazioni cercate sono allora

(4) x=(T0/ρ)ln(1/cosθ+tgθ)
(5) y=(T0/ρ)(1/cosθ)

La prima si può scrivere anche

(6) 1/cosθ+tgθ=exp(x ρ / T0) ove con exp intendo l’esponenziale del numero e. Ma è

1=1/cosθ-tgθ=(1/cosθ+tgθ)( 1/cosθ-tgθ) quindi

1/cosθ-tgθ=1/(1/cosθ+tgθ)= exp(-x ρ / T0)
Sommando quest’ultima con la (6) e usando la (5) e ponendo
T0/ρ=h
otteniamo
y= h/2[exp (x/h)+exp(-x/h)] o anche


y=h cosh(x/h)
che è l’equazione della catenaria voluta.

Adesso risolvi questo
Della corda sia nota la sezione S la lunghezza L e la distanza fra i punti di sospensione D. Determina la tensione nel punto più basso e agli estremi.