OliForum Matematico

sono comparse due disuguaglianze carine:

$ \displaystyle \frac {a}{b} +\frac {b}{c} + \frac {c}{a} \geq a+b+c $
dove $ a,b,c > 0 $ e $ abc=1 $

$ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2) \leq 2 $
dove $ x,y \geq 0 $ e $ x+y=2 $

La seconda era su un giornalino, mi sembra.

Ok, per ora provo con la seconda.

Se $ x=y=1 $, è vero che $ 1<2 $.
Supponiamo per simmetria che $ x>y $: si ha che $ x>1 $ e che $ 0<y<1 $.
La media aritmetica fra $ x $ e $ y $ è $ 1 $, quindi per AM-GM, $ \sqrt{xy}<1 $, quindi $ (xy)^2<1 $.
$ (x+y)^2=4 $ quindi, rimaneggiando un pò si ottiene la tesi $ 2(xy)^2(1-xy)\leq 1 $. Quindi supposto che $ 2xy>1 $, $ 2(1-xy)<1 $ e viceversa (diciamo che si "compensano"), ed essendo gli altri fattori comunque minori di $ 1 $..
Nel caso che $ xy=0,5 $, si verifica la disuguaglianza (si sostituisce o si prende l'equazione $ t^2-2t+0,5=0 $)


La prima mi ricorda qualcosa, forse in un vecchio topic...

1°)
a=x/y---b=y/z---c=z/x

si sostituisce, si svolgono i calcoli. La disuguaglianza che viene fuori vale per ogni x,y,z>=0 e si dimostra con il riarrangiamento applicato alle terne (xz,yx,zy) e (x^2z^2,y^2x^2,z^2y^2)... e dire che mi stavo incasinando con il bunching...le dis non sono il mio argomento preferito...

No aspe... ho supposto x>=z>=y che è limitativo... forse esaminando casi separati...
beh... non insisto ulteriormente su es che non mi piacciono... lo lascio a voi! Magari a quel patito di dis che se ho ben capito è Boll ...

Buon lavoro

Su questa non ci conterei, ma tentar non nuoce...

Se $ a $, $ b $, $ c $ fossero tutti maggiori di $ 1 $, la disuguaglianza sarebbe verificata, ma così non è...

Almeno uno dei tre parametri è maggiore di $ 1 $ e almeno uno è minore di
$ 1 $.
Si avrà che ogni numero è pari al reciproco degli altri due, quindi sarà $ a=\frac{1}{bc} $; in somme del genere del primo termine, il minimo ottenibile è $ n $, dove $ n $ è il numero di addendi (in questo caso $ 3 $ e vale l'uguaglianza), ovvero quando ogni termine è pari a $ 1 $; poi se non erro qualche cosa si fa per induzione (e sempre usando quella storia della compensazione)con qualche media qua e là, ragionando nel caso in cui $ n=2 $..
ma ora lancio la palla a qualcun'altro (fischiano le orecchie a qualcuno..?)

EDIT: Corretto (grazie Info)

ciao Human, scusa se non prendo un foglio per controllare ciò che dici ma chiedo spiegazione subito...

- Perchè dici che l'equazione è simmetrica? Il secondo membro lo è, il primo non mi sembra... o perlomeno: mi pare si parli di simmetria ciclica ma non sò se è quello che intendi...

- Cosa fai? Scifti, sommi e dimostri? Mi sembra che funzioni solo se le 3 equazioni sono equivalenti, ma non credo lo siano per i motivi detti sopra;

- non ho capito il gioco finale sulle S;

Hai ragione, ho letto male tutta l'espressione, ora ricontrollo...

Si chiama simmetria ciclica? confesso non lo so, da qualche parte ho letto che si può applicare qualche proprietà del genere

Soluzione alternativa alla 2:
Poniamo $ x=1+a $, $ y=1-a $ e sostituiamo...

Un'alternativa...... alle alternative.
$ \displaystyle 3\frac{a}{b} + 3\frac{b}{c} + 3\frac{c}{a} = \left( {\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}) +( \frac{c}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b}}) $
$ \displaystyle 3\frac{a}{b} + 3\frac{b}{c} + 3\frac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{a^2 }}{{bc}}}} + 3\sqrt[3]{{\frac{{b^2 }}{{ca}}}} + 3\sqrt[3]{{\frac{{c^2 }}{{ab}}}} \\ 3\frac{a}{b} + 3\frac{b}{c} + 3\frac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{a^3 }}{{abc}}}} + 3\sqrt[3]{{\frac{{b^3 }}{{bca}}}} + 3\sqrt[3]{{\frac{{c^3 }}{{cab}}}} \\ 3\frac{a}{b} + 3\frac{b}{c} + 3\frac{c}{a} \ge 3a + 3b + 3c \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge a + b + c \\ $

Alura, per avere un'alternativa, ci vuole una sol. Quindi ne abbiamo 2 per ora. Se abbiamo più alternative, ce ne sono almeno 2. Per ora abbiamo 3 sol. Se abbiamo anche l'alternativa alle alternative ne aggiungiamo un'altra: almeno 4. Io ne vedo solo una (la tua!). A parte scherzi, karl, puoi postare anche altre sol? [per quanto quella sia molto bella, eh!]... Giusto per vedere quali trick si applicano in queste cose... mi pare che in questo campo tu abbia parecchio da insegnare

@Info
Dopo la soluzione che ho trovato e per tutte le altre, che vuoi trovare
di piu'.Quanto a quello che potrei insegnare,tu sai meglio di me che si tratta
di pratica e (soprattutto!) di intuizioni che capitano ogni tanto....

scusate potreste spiegarmi la relazione che c'è tra il primo e il secondo passaggio della dimostrazione di karl? non riesco proprio a capire

Ho applicato la regola che afferma che la media aritmetica di n(>=2) numeri non negativi e' non inferiore alla media geometrica degli stessi.
Nel caso specifico risulta:
$ \displaystyle\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3] (\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{b}{c}) $
Ovvero:
$ \displaystyle\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geq 3 \sqrt[3] (\frac{a^2}{bc}) $
e cosi' per le altre due espressioni.

No che pirla... mi sono appena accorto che la sol che è scritta sopra è corretta. Ogni passaggio funzia se le 2 terne che ho scritto sono scritte con lo stesso ordine... ma evidentemente lo sono, essendo del tipo (a,b,c) e (a^2,b^2,c^2)... non ci interessano nemmeno le relazione tra a,b, e c... Ecco: abbiamo 2 sol per ora!