OliForum Matematico

Se la memoria non m'inganna, il primo problema che vo' a proporvi è stato già affrontato sulle pagine del vecchio forum. In ogni caso, siccome può essere istruttivo in riferimento alla soluzione d'altri problemi (click), decisamente più angosciosi, certo dedicarci studio non potrà che farvi del bene.

Problema #1: determinare ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $ per cui esiste $ m\in\mathbb{N}_0 $ tale che: $ \dfrac{\sigma_0(m^2)}{\sigma_0(m)} = n $, ove $ \sigma_0(t) := \sum_{s \mid t} 1 $, la sommatoria intendendosi estesa a tutti e soli i divisori interi positivi di $ t $, per ogni $ t\in\mathbb{N}_0 $.

Oh, faccio questo problema che era rimasto archiviato....

Vogliamo dimostrare che tutti e soli gli $ n $ tali che (blabla) sono gli interi positivi dispari.

Innanzitutto dimostriamo che se per un intero $ n $ esiste un $ m $ tale che $ \sigma_0 (m^2)=n \sigma_0 (m) $ allora $ n $ è dispari.

Infatti sappiamo che $ \sigma_0 (p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_r^{a_r}) = (a_1+1)(a_2+1)...(a_r+1) $ e allora detto $ m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_r^{a_r} $ allora $ \sigma_0 (m^2)=(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_r+1) $ e quindi è dispari e avendo che $ n| \sigma_0 (m^2) $ allora anch'esso è dispari.

Detto questo procediamo induttivamente: abbiamo che $ m=1 $ e $ m=144 $ danno come valori di $ n $ rispettivamente $ 1 $ e $ 3 $.
Diciamo di avere ora per ogni $ i $ dispari minore di $ 2k+1 $ un numero $ m_i $ che verifica l'identità $ \sigma_0(m_i^2)=i\sigma_0(m_i) $ .
Dicendo ora che $ 2^s||k+1 $ prendiamo $ m_{\frac {k+1}{2^s}} $ che abbiamo già trovato e prendiamo $ s+1 $ primi distinti $ p_1, p_2, ... p_{s+1} $ tali che nessuno di essi divida $ m_{\frac {k+1}{2^s}} $. Ora prendiamo $ a_i=\frac {(2^{s+1}-1)(2k+1)-1}{2^i} $. In questo modo si può vedere che prendendo $ r_{2k+1}=p_1^{a_1}p_2^{a_2} .... p_{s+1}^{a_{s+1}} $ avremo che $ \frac {\sigma_0(r_{2k+1}^2)}{\sigma_0(r_{2k+1})} =\frac {2k+1}{\frac {k+1}{2^s}} $ e sapendo che la $ \sigma_0(.) $ è moltiplicativa avremo che:

$ \displaytyle \sigma_0((m_{\frac {k+1}{2^s}}r_{2k+1})^2)=(2k+1)\sigma_0(m_{\frac {k+1}{2^s}}r_{2k+1}) $

Quindi il passo induttivo è fatto!

A risentirci