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Tutti o quasi conosceranno - ne son certo - il celebre argomento con cui il sommo Eulero ebbe a suo tempo a dimostrare che la serie dei reciproci di tutti e soli i primi di $ \mathbb{N} $ è divergente, deducendone nel contempo un proof alternativo al teorema di Euclide sul conto della cardinalità di $ \mathfrak{P} $. Ebbene, sentite un po' qua che vi propongo... Buon divertimento, capri...

Problema #1: essendo $ \{p_k\}_{k\in\mathbb{N}_0} $ la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi naturali, stabilire il carattere della serie $ \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1}\cdot\frac{1}{p_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + (-1)^{k+1} \cdot\frac{1}{p_k} + \ldots $

EDIT: è certo che non sto bene... Vabbe', ormai che c'è lo lascio! Ecco il problema serio, comunque...

Problema #2: nelle stesse notazioni del problema precedente, stabilire il carattere della serie $ \displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{r_k}{p_k} $, essendo $ r_k := 1 $, se $ p_k \equiv 1 \bmod 4 $; $ r_k := -1 $, se $ p_k \equiv -1 \bmod 4 $, per ogni intero $ k \geq 2 $.

Uhm ... per il problema 1...o non ricordo più l'analisi (preoccupante, visto che al 6 ho l'esame), o la faccenda è banale: la somma a segni alterni dei termini di una successione positiva s_n converge non appena s_n-->0 (in maniera definitivamente monotona -- Tnx to Mind) al crescere di n. Quindi in questo caso converge.
Oppure con "carattere della serie" tu intendi qualcosa di più specifico?

EvaristeG ha scritto:la somma a segni alterni dei termini di una successione positiva s_n converge non appena s_n-->0 al crescere di n.

Mah, questo mi sembra falso... Alterna $ \frac{1}{n} $ con $ \frac{-1}{n^2} $, e dovrebbe divergere.

Ah, ma per il criterio di Leibniz la serie della 1 converge, perché è monotona in modulo e tende a 0...

Scusate non capisco il senso del problema 1: essendo quella data una serie a segni alterni decresente in modulo e infinitesima è ovvio che converge a un numero S. Hit ma vuoi che ti dimostriamo il criterio di Leibniz per la convergenza delle serie a segno alterno?

Sì, vabbè, Mind, mi ero dimenticato il "in maniera monotona"...

HiTLeuLeR ha scritto:EDIT: è certo che non sto bene... Vabbe', ormai che c'è lo lascio! Ecco il problema serio, comunque...

Come stimo di aver lasciato intendere, il problema cui dovreste dedicarvi è il numero 2. L'1 sta lì messo per un fatto puramente "accidentale". L'argomento Leibniz è sufficiente per ritenerlo già archiviato.

EvaristeG ha scritto:Oppure con "carattere della serie" tu intendi qualcosa di più specifico?

Maccheeé... Rasserenati, ovvìa, hai ben interpretato il senso!

HiTLeuLeR ha scritto:Tutti o quasi conosceranno - ne son certo - il celebre argomento con cui il sommo Eulero ebbe a suo tempo a dimostrare che la serie dei reciproci di tutti e soli i primi di $ \mathbb{N} $ è divergente, deducendone nel contempo un proof alternativo al teorema di Euclide sul conto della cardinalità di $ \mathfrak{P} $. Ebbene, sentite un po' qua che vi propongo... Buon divertimento, capri...

Dove si può trovare la dimostrazione?

PS: scusami se ti inquino il 3ad. Tempo fa lessi che un'altro numero, denominato B mi pare, derivante da un sommatoria di reciproci legati ai primi è stato usato nella dimostrazione dell'infinità dei primi gemelli; qualcuno sa dirmi di che si tratta?

Paoloca ha scritto:

HiTLeuLeR ha scritto:[...] Eulero ebbe a suo tempo a dimostrare che la serie dei reciproci di tutti e soli i primi di $ \mathbb{N} $ è divergente [...][/tex].

Dove si può trovare la dimostrazione?

Ti ripropongo la dimostrazione di Clarkson, ben più semplicata dell'altra del maestro Eulero. Ammettiamo per assurdo che la serie dei reciproci di tutti e soli i numeri primi naturali sia convergente. Esiste perciò $ r\in\mathbb{N}_0 $ tale che $ \displaystyle \sum_{k=r+1}^{+\infty} \frac{1}{p_k} < \frac{1}{2} $. Poniamo quindi $ q := p_1 p_2 \ldots p_r $, e osserviamo che ogni intero positivo della forma $ 1 + nq $, con $ n\in\mathbb{N}_0 $, non è divisibile per alcun elemento dell'insieme $ \{p_1, p_2, \ldots, p_r\} $, perciocché ogni divisore primo naturale di $ 1 + nq $ appartiene necessariamente alla sequenza $ p_{r+1}, p_{r+2}, \ldots $ Ne consegue che, per ogni intero $ t \geq 1 $: $ \displaystyle \sum_{n=1}^{t} \frac{1}{1+nq} \leq \sum_{m=1}^{+\infty} \left(\sum_{k=r+1}^{+\infty} \frac{1}{p_k}\right)^{\!\! m} $, dacché la sommatoria sulla destra include fra i suoi termini tutti gli addendi della sommatoria di sinistra. E allora $ \displaystyle \sum_{n=1}^{t} \frac{1}{1+nq} < \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{2^m} = 1 $, di modo che la successione delle ridotte della serie $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1+nq} $ ne risulta limitata. Questo è tuttavia assurdo, poiché la serie anzidetta è divergente, per confronto asintotico con la serie armonica. Trattandosi di serie a termini reali positivi, tanto è sufficiente per dedurre la tesi.

Paoloca ha scritto:PS: scusami se ti inquino il 3ad. Tempo fa lessi che un'altro numero, denominato B mi pare, derivante da un sommatoria di reciproci legati ai primi è stato usato nella dimostrazione dell'infinità dei primi gemelli; qualcuno sa dirmi di che si tratta?

Mi spiace, non ho alcuna intenzione di scusarti!!! In ogni caso, quel $ B $ a cui tu fai cenno è detto costante di Brum, ed è il valor limite cui converge la serie $ \displaystyle \sum_{p\in\mathfrak{P}_2} \frac{1}{p} $, la sommatoria essendo estesa a tutti e soli gli elementi dell'insieme $ \mathfrak{P}_2 := \{p\in\mathfrak{P}: (p+2)\in\mathfrak{P}\} $, appunto i cosiddetti primi gemelli. Utilizzando metodi di crivello che si direbbero (...) piuttosto sofisticati, il nostro Brum è riuscito a stabilire che la serie indicata è convergente, prescindendo totalmente da un dato circa la cardinalità dell'insieme $ \mathfrak{P}_2 $. Che poi quest'argomento abbia portato alla dimostrazione dell'infinità dei primi gemelli, beh... senti a me (come direbbe il mio Prof ): quest'è una stronzata madornale!!! Là dove la serie fosse risultata divergente, avresti tenuto ragione tu, ma siccome la condizione indicata non sussiste, eh... prova a ripensarci con più calma!

HiTLeuLeR ha scritto: Mi spiace, non ho alcuna intenzione di scusarti!!!

Ovviamente non ne ho intenzione perché non c'è nulla di cui tu debba scusarti, sia ben inteso!

Grazie mille!!

Ovviamente non sono (ancora..) in grado di dedurre niente dalla convergenza di quella serie; ho soltanto riportato quanto ricordavo di questo: http://www.matematicamente.it/numeri/numeri_gemelli.htm

Dimentica quel sito, è un consiglio dato esclusivamente nel tuo bene!!! E comunque sappi che il proof relativo alla congettura dei primi gemelli cui si fa colà riferimento è risultato di fatto fallace. Il problema rimane a tutt'oggi aperto...

Già, guarda qui.