OliForum Matematico

Provare che, per $ x,y,z \in \mathbb{R}^{+} $

$ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\ge 2\sqrt[4]{xyz(x+y+z)} $

premetto che è il mio primo tentativo di dimostrazione su questo forum, quindi potrebbe essere pieno di ciofeche...

per AM-GM si ha:

1) $ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq\sqrt[3]{xyz} $

2) $ (x+y+z)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq4\sqrt[4]{xyz(x+y+z)} $

3) $ x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq6\sqrt[3]{xyz} $

ma i membri di destra della 2) e della 3) sono uguali, e saranno maggiori di quantità uguali, dato che abbiamo applicato ad entrambi AM-GM. quindi possiamo uguagliare i membri di sinistra, ottenendo

$ 4\sqrt[4]{xyz(x+y+z)}=6\sqrt[3]{xyz} $ da cui
$ 2\sqrt[4]{xyz(x+y+z)}=3\sqrt[3]{xyz} $
sostituendo il primo membro di questa uguaglianza al secondo della 1), si ottiene proprio la tesi

hydro ha scritto: ma i membri di destra della 2) e della 3) sono uguali, e saranno maggiori di quantità uguali, dato che abbiamo applicato ad entrambi AM-GM.

hmm... o sono io che capisco male o il tuo ragionamento non mi torna: stai dicendo che
$ 3>=1 $
$ 3>=2 $
quindi $ 2=1 $?

O il ragionamento e' diverso e sono io che interpreto male?
ciao,

hydro ha scritto: $ 4\sqrt[4]{xyz(x+y+z)}=6\sqrt[3]{xyz} $

falso, per $ x=y=z=1 $ si avrebbe
$ 4\sqrt[4]{3}=6 $

Per ora posto questo, valido se $ \sqrt{xyz(x+y+z)}\ge 2 $

1. L'equazione è simmetrica;

Lemma$ #1 $: $ x+y+z \ge \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} $;
Dim. Per AM-GM, $ \frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy} $, e lo stesso vale
per le altre coppie; quindi sommando membro a membro, si ottiene la tesi;

Lemma$ #2 $: $ \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge \sqrt{a+b+c} $;
Dim: Vabbò, ci sono i termini rettangolari al primo membro dopo aver
elevato al quadrato, quindi parlando di non negativi...

Ora, $ \sqrt{xy}:=a $, $ \sqrt{xz}:=b $, $ \sqrt{yz}:=c $;
Per il precedente lemma $ a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc} $;
ma $ \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}= \sqrt{xyz^2}+\sqrt{zy^2x}+\sqrt{x^2yz} $, che per il secondo lemma è
maggiore di $ \sqrt{xyz(x+y+z)} $.

Magari poi trovando delle disuguaglianze più raffinate...o per filosofia...

diciamo che $ a=\sqrt{xy} $, $ b=\sqrt{xz} $, $ c=\sqrt{yz} $. Supponiamo per simmetria che $ a $ è il maggiore.
Il primo membro diverrà $ a+b+c $ che, per AM-GM è maggiore di
$ 2\sqrt{a(b+c)}=2\sqrt[4]{a^2b^2+a^2c^2+2a^2bc} \geq 2\sqrt[4]{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2} $
che è proprio il 2° membro.

Boll ma sei sicuro della disuguaglianza?Dai miei calcoli risulta che l'uguaglianza non vale mai(lo si vede anche dai calcoli di simo).
Al posto del 2 metterei un 27 dentro radice quarta.

Sì, Cu_Jo ero sicuro, io l'avevo risolta con contazzi bunching+schur. Complimentissimi a Simone per la soluzione, al solito, elegantissima (l'avevo postata apposta :P)

eccone un'altra (esperimento su latex #2)

intanto per la media aritmetica/quarta

$ \frac { \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}}{3} \geq \sqrt[4]{\frac{a+b+c}{3}} $

quindi

$ \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c} \geq 3 \sqrt[4]{\frac{a+b+c}{3}} > 2 \sqrt[4]{a+b+c} $ (LEMMA1)

ora riparto dal primo membro:

$ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{2} + \frac{\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}{2} + \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}{2} \geq \sqrt[4]{xy^2z} $ $ +\sqrt[4]{xyz^2}+\sqrt[4]{x^2yz} $

e,applicando il LEMMA1 con $ a=xy^2z , b=xyz^2, c=xyz^2 $
si ottiene

$ \sqrt[4]{xy^2z} + \sqrt[4]{xyz^2} + \sqrt[4]{x^2yz} > $ $ 2\sqrt[4]{x^2yz+xy^2z+xyz^2} = \sqrt[4]{xyz(x+y+z)} $

ovvero la tesi.
L'uguaglianza vale se e solo se x=y=z=0

PS per HumanTorch: hai dimostrato la tesi, ma c'è anche un 2 al secondo membro...

PPS per _Cu_Jo__ mi sa che il due si può cambiare al massimo con $ \sqrt[4]{3^3} \approx 2,279507056954777641... $
EDIT:che tra l'altro è la stessa cosa che dicevi tu

oops... ho scritto una cavolata... ci riprovo

1) $ (x+y+z)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq4\sqrt[4]{xyz(x+y+z)} $

2) $ x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq6\sqrt[3]{xyz} $

3) $ x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz} $


sommiamo membro a membro la 1) e la 2), ottenendo

$ 2(x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\geq6\sqrt[3]{xyz}+4\sqrt[4]{xyz(x+y+z)} $

$ x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq3\sqrt[3]{xyz}+2\sqrt[4]{xyz(x+y+z)} $

sottraiamo membro a mebro la 3) dalla disuguaglianza ottenuta, ottenendo la tesi

hydro ha scritto: sottraiamo membro a mebro la 3) dalla disuguaglianza ottenuta, ottenendo la tesi

Non puoi fare
$ a>b $ et $ c>d $ implica $ a-c>b-d $

controesempio:
12>11 et 7>3

implicano

5>8 !!!!

P.S. Buonissima anche la frengo's!!!! Bunching-Schur mi sembra sempre peggiore

mi raccontate 1 bella favoletta? checcos'è sto am-gm che nominate sempre? magari prendo sonno ;D

Ehmm ehmm, se permettete prendo nuovamente la parola, viste le mie elevatissime abilità di oratore (*risate*, Nd patetico R):
Innanzitutto, esistono vari tipi di medie: le due classi principali (a quanto ne so) sono quella aritmetica, quella geometrica e quella di ordine t:
la prima è data dalla formula $ \displaystyle\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n}=\displaystyle\frac{a_1+a_2+a_3+..+a_n}{n} $; la seconda è pari a $ \displaystyle\sqrt[n]{a_1a_2a_3..a_n} $; la terza infine è $ \displaystyle\sqrt[t]{\frac{a_1^t+a_2^t+a_3^t+..+a_n^t}{n}} $ (da qui anche le medie armonica e quadratica ma non divaghiamo)

Per AM-GM si intende la proprietà dei numeri reali non negativi per cui la media aritmetica è maggiore o uguale a quella geometrica.

EDIT: corretto

Per maggiori chiarimenti scarica il pdf
http://www-dimat.unipv.it/~gilardi/WEBG ... nd-dis.pdf

HumanTorch ha scritto: Per AM-GM si intende la proprietà dei numeri interi non negativi per cui la media aritmetica è maggiore o uguale a quella geometrica.

Ehm... Non sono un grande esperto ma credo sia una proprietà di tutti i <i>reali</i> non negativi.

Sisifo ha scritto:

HumanTorch ha scritto: Per AM-GM si intende la proprietà dei numeri interi non negativi per cui la media aritmetica è maggiore o uguale a quella geometrica.

Ehm... Non sono un grande esperto ma credo sia una proprietà di tutti i <i>reali</i> non negativi.

Si, si ovviamente.. (d'altronde nelle disequazioni si parlava di reali...ora correggo..