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Dimostrare che per ogni numero $ q \in \mathbb{Q}^+ $ esistono interi positivi $ a,b,c,d $ tali che:

$ \displaystyle q=\frac {a^3+b^3}{c^3+d^3} $

Lavorare sui fattori mi sembra calcoloso...induzione?

Induzione??? mmm, non saprei....

Provo a riscrivere il problema:
Dati l, m interi primi fra loro esiste un h intero tale che sia hl che hm siano esprimibili come somma di due cubi... sono fuori strada?

Dopo avere provato un pò con l'induzione ed essere arrivato ad un'altra diofantea che non so cmq risolvere....può essere utile porre [p/q è il numero razionale]...

a=kp+t
b=fp-t

e analogamente c e d, sostituire, vedere l'equazione ottenuta come una equzione di secondo grado ed utilizzare più volte questo risultato carino che spero abbia una qualche ragione di esistere:

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presa l'equazione

ax^2-bx+c=0

con a,b,c appartenenti ad No a,b>0, essa ammette almeno una sol intera positiva sse b=a+c...
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???????????????????????????

ps: il caso q=1 è famoso e dà come risultato minimo per la somma dei cubi al numeratore 1729, come Ramanujan insegna, sempre che le a,b sia diverso da c,d...

ponendo q=$ \frac{m}{n} $ e $ a=m-k_1n $, $ b=m+k_1n $ $ c=n-k_2m $ e $ d=n+k_2m $ salta fuori qualcosa di carino, provate un pò.

sicuro che venga Pixel? Ho provato a sostituire e mi viene che se vale l'eguaglianza deve valere per una qualche coppia di positivi (k1,k2) questa diofantea:

m^2+3k1*n^2=n^2+3k2*m^2

prendendola modulo 3:

m^2=n^2

ovverosia basta prendere m ed n di modo che non sia verificata la divisibilità modulo 3 per fare in modo che la diofantea sopra non abbia soluzioni... Cosa sbaglio o non capisco????

Oppure vuol dire che $ (3k_1-1)m^2=(3k_2-1)n^2 $ quindi basterebbe porre $ 3k_1=n^2+1 $ e $ 3k_2=m^2+1 $. Ma non regge perchè $ n^2+1 $ non è mai multiplo di 3... Però forse con qualche modifica...

Forse ci sono riuscito; partendo come prima (il numero razionale è =p/q)

a=kp+t
b=fp-t

c=rq+m
d=sq-m

si eseguono i calcoli. Per sbarazzarsi di un po’ di roba si pone k=f ed r=s, sperano di lasciare qualche sol ed ottenendo la diofantea:

k^3p^2+3kt^2=r^3q^2+3rm^2

pongo inoltre r=k

t^2=[k^2(q^2-p^2)+3m^2]/3

sarebbe stato comodo un k=3c

t^2=3c^2(q^2-p^2)+m^2

t^2-m^2=3c^2(q^2-p^2)

a destra abbiamo un numero dispari pur di scegliere c dispari, a sinistra una diff tra 2 quadrati: possiamo scegliere t, m e c di modo che la diofantea resti soddisfatta.. si può fare anche se q e p sono entrambi dispari scegliendo due quadrati che differiscano di 2 unità... credi che funzioni Simo???? Perché sinceramente c’è un passaggio sul quale non ho tanto le idee chiare

Cmq sia info ricorda che a,b,c e d devono anche essere positivi.

Già è vero: dimenticavo di avere letto questa condizione a dire il vero ... beh... immagino che tu abbia capito che la sol sopra non si può "salvare" e non controllo... Non ho voglia di provare ancora a dire il vero ma credo che la sostituzione di partenza sia buona...migliori non me ne vengono in mente...

aggiunta:
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cmq ho controllato ed effettivamente il metodo sopra porta ad infinte sol per ogni numero razionale se allarghiamo il discorso anche ai numeri relativi...

ok, prova a dare a t, m,c valori per cui la diofantea funzioni e poi sostituisci. Per la positività di a,b,c,d vedi le condizioni che dovrebbero sussistere e poi...

mmm... mi pareva di avere provato ieri con qualche esempio numerico e non mi ritrovavo... beh! Ma se dici di provare, mi sarà sfuggito qualcosa!... quando ho tempo e calma sufficiente faccio il tutto per bene... devo dire che già trovare sol per i relativi mi ha dato un pò di soddisfazione

Se $ q\in\mathbb{Q}^+ $, esistono $ m, n\in\mathbb{N}_0 $ tali che $ q = \dfrac{m}{n} $. Senz'essere lesivi di generalità, possiamo suppore per il seguito $ m > n $. Se $ m < 2n $, si cercano $ a, b, c, d \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ \dfrac{m}{n} = \dfrac{a^3 + b^3}{b^3+d^3} = \dfrac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{(c+d)(c^2 - cd + d^2)} $. Poniamo in tal senso $ b := 2m - n $, $ d := 2n-m $ ed $ a = c := b+d $. Con queste assunzioni, essendo $ \dfrac{1}{2} < \dfrac{m}{n} < 2 $: $ \min(a,b,c,d) > 0 $; $ a+b = 3m $; $ c+d = 3n $ e $ a^2 - ab + b^2 = c^2 - cd + d^2 $, sicché la tesi è prontamente soddisfatta. Se poi $ m \geq 2n $, si cerchi innanzitutto $ t\in\mathbb{Q}^+ $ tale che $ \dfrac{1}{2} < \dfrac{mt^3}{n} < 2 $, condizione certamente possibile per via della densità di $ \mathbb{Q} $ in $ \mathbb{R} $. Posto allora t = x/y, con
$ x, y \in\mathbb{N}_0 $; m' := m x^3 ed n' := n y^3, risulta $ \dfrac{1}{2} < \dfrac{m'}{n'} < 2 $, perciocché - sulla base del precedente stabilito - sono certamente determinati $ \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{N}_0 $ tali che: $ \dfrac{mx^3}{ny^3} = \dfrac{m'}{n'} = \dfrac{\alpha^3 + \beta^3}{\gamma^3+\delta^3} $. Ne consegue finalmente ch'esistono $ a, b, c, d\in\mathbb{N}_0 $, con $ a := \alpha y $, $ b := \beta y $, $ c := \gamma x $ e $ d := \delta x $, tali che $ \dfrac{a^3 + b^3}{c^3 + d^3} = \dfrac{y^3(\alpha^3 + \beta^3)}{x^3(\gamma^3+\delta^3)} = \dfrac{m}{n} $. Di qui la tesi, q.e.d.

Nella versione precedente della mia soluzione, oltre a un certo numero di typos, ci stava un errore tanto grave che mi meraviglia assai come *nessuno* l'abbia fatto notare!!! Meglio così, ché altrimenti chi vi stava poi a sentire, uh?