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Bah... forse è più TdN... comunque:

Sia $ S_1 $ la sequenza di interi positivi $ 1,2,3,4,5,6,... $. Definiamo $ S_{n+1} $ come $ S_n $ ai cui elementi è stato aggiunto 1 se sono multipli di $ n $.
Per esempio, $ S_2 $ è composta da $ 2,3,4,5,6,7,... $, $ S_3 $ da $ 3,3,5,5,7,7,... $. Determinare per quali $ n $ i primi $ n-1 $ elementi di $ S_n $ sono uguali a $ n $.

Spero sia chiaro.

Se ho ben capito ho trovato qualcosa, la posto fra poco...

Allora, premesse:
1. Dopo un passaggio da $ S_n $ a $ S_{n+1} $ in quest'ultima serie nessun elemento è divisibile per $ n $;

2.Per la 1. in $ S_3 $abbiamo solo dispari, ed essendo $ S_2 $ uno shiftamento di $ S_1 $(ovvero si toglie il primo elemento), abbiamo in $ S_3 $coppie di dispari;

3.Il primo termine è sempre pari all'indice della serie; i termini diventano progressivamente tutti uguali all'indice: il primo lo è sempre, il secondo e il terzo lo diventano dalla terza serie e da qua in poi si procede a coppie.

Supponiamo che tra $ 1 $e $ n $ ci siano $ p $ primi.
Quindi questi non verranno mai incrementati fino a quando non si giunge a $ n+1=p+1 $. Pertanto, quando $ n=p $ essendo uguali all'indice, sono incrementabili (da incrementare al turno successivo); ma per la 3. anche tutti i precedenti termini devono essere uguali (non solo multipli, ma proprio uguali). Da qui si ha che la tesi è vera per ogni primo.

Per i compositi: basti sapere che vengono incrementati almeno una volta (se $ m $ è un quadrato), quindi quando $ n=m-1 $), essendo la seconda serie shiftamento della prima, quando si arriva a $ S_m $, l'$ m-1 $-simo termine sarà stato incrementato, e quindi sarà comunque maggiore di $ m $, rendendo insoddisfatta la tesi)

Non so se è un mio problema ma non vedo uno straccio di formula nella tua soluzione.
Quindi non ti posso dire molto, (vabbè la conclusione è giusta), anche se non mi convinci un granché quando dici

3.Il primo termine è sempre pari all'indice della serie; i termini diventano progressivamente tutti uguali all'indice: il primo lo è sempre, il secondo e il terzo lo diventano dalla terza serie e da qua in poi si procede a coppie di .

Se l'ultima parte è "a coppie di 2" allora è falso.

Procede a coppie nel senso che, avendo in $ S_3 $ $ 3,3,5,5,7,7,9,9.. $, incrementando il termine $ 2n+1 $ si deve incrementare anche il termine $ 2(n+1) $. Non so se mi sono espresso bene...

Per le formule... che posso dirti? Non sono un pozzo di scienza, quindi mi adatto..

HumanTorch ha scritto:Procede a coppie nel senso che, avendo in $ S_3 $ $ 3,3,5,5,7,7,9,9.. $, incrementando il termine $ 2n+1 $ si deve incrementare anche il termine $ 2(n+1) $.

Ah, ok. Questo è vero.

Uhm... il mistero si infittisce : nell'ultimo messaggio visualizzo il LaTeX normalmente. Bah...

Comunque, mi riscrivi questi passaggi:
premessa 1. dopo un pass. da ??? in ??? in quest'ultima (...) divsibile per ???
pr 2. (...) in ??? abbiamo solo dispari, (...) shiftamento di ??? bla bla

Supponiamo che tra ??? e ??? ci bla bla
(...) si giunge a ????

Poi non capisco come concludi. Mi sembra che dimostri la tesi per i primi, ma non la neghi per i composti.

Mi sembra che per i compositi sia un'implicazione del proof per i primi...
per LaTeX non saprei cosa sia successo, ora ho rimesso tutto a posto